※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: 1. 甲的勝率是乙的2倍，每次比賽無平手，若約定先贏3場者為勝。
: 若甲先讓乙一局，也就是乙(1:0)領先，則後續再比場次的期望值與標準差為?
: 我的想法是用樹狀圖排出來後，再算場次與它所對應的機率在相乘相加
: 不知有沒有比較好的方法，而不需要土法煉鋼全部畫出在一一算出?
最多5戰, 也就是說最多再戰4局.
令 X = 再戰局數
X = 2 唯一情形: 乙乙 乙再連勝2局),
機率 (1/3)^2 = 1/9
X = 3 情形: 甲甲甲, 甲乙乙, 乙甲乙,
機率 (2/3)^3+2(2/3)(1/3)^2 = 12/27
x = 4 情形: 緊接的3局甲2勝,
機率 C(3,2)(2/3)^2(1/3) = 12/27
根據上列 X 次可能值及對應機率計算 X 之期望值及標準差.
: 2. 魚塭中有若干條魚，先將1000條鮭魚標記後放入，隔天抓出1000條魚，
: 其中有100條有標記，則在95%信心水準下，魚塭中魚的總數範圍為?
: 我的想法是先假設魚塭中有N條魚，P = 1000/N
: 2[(0.1)*(0.9)/1000]^1/2 = 0.018973666
: 0.1 - 0.018973666 < 1000/N < 0.1 + 0.018973666
: => 8405.22 < N < 12341.66 但答案是 8333~12500
: 想請問各位高手這題應該如何處理較佳呢?
不知這1000條標記的魚是另外加入的或自原魚塭抓出的?
假設總魚數是 N (含標記的魚).
在這 "捉放再捉" 模型的一些標準假設下, "隔天" 抓出的
n 條魚中有標記的數量是 X,
P[X = k] = C(1000,k)C(N-1000,n-k)/C(N,n)
N 的直接估計是 N^ = 1000/(X/n) = 1000n/X.
用常態近似, X 接近服從 平均數 1000n/N, 變異數
n(1000/N)(1-1000/N)(N-n)/(N-1)) 的常態分布.
若忽略有限群體校正數 (N-n)/(N-1), 又以樣本比例 X/n
代替群體比例 1000/N, 則 X 的變異數接近
n(X/n)(1-X/n) = 1000(100/1000)(1-100/1000) = 90
所以,
P[1000n/N - 1.96*√90 ≦ X ≦ 1000n/N+ 1.96*√90]
≒ 0.95
即: 1000n/N = 1000000/N 的近似95%信賴區間是 X-18.6
至 X+18.6. 將 X 的觀測值 100 代入, 得 81.4～118.6.
故 N 的近似 95% 水準的信賴區間是 1000000/118.6 至
1000000/81.4, 大約 8430至 12300.
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