→ Eliphalet :這應該也算先積分再微分就是了... 05/24 14:58
推 microball :這是高級解法啊 XD 05/25 06:12
※ 引述《arthur61106 (arthur)》之銘言：
: http://ppt.cc/TZFX
: 有想過將函數先積分在微分.... 可是後面卡住
: 不知道想法有無錯誤?
可能有什麼特殊技巧，等版上能人
以下方法也可以得到答案( 微分方程級數解，不過有點煩就是了 )
arcsin(x)/sqrt(1-x^2) = 1/2 * d/dx (arcsin(x))^2
∞
令 y(x) = (arcsin(x))^2 = Σ a_k x^k
k=0
因為 sqrt(1-x^2) y' = 2 arcsin(x) 再微分一次後得到
(1-x^2) y" - xy' = 2 , initial condition a_0 = 0 = a_1
∞
(1-x^2) y" = 2a_2 + (6a_3)x + Σ [ (k+2)(k+1)a_{k+2} - k(k-1)a_k ] x^k
k=2
∞
xy' = (a_1)x + Σ k a_k x^k
k=2
比較係數後
1. a_2 = 1 ， a_3 = a_1/6 = 0
k^2
2. a_{k+2} = ------------- a_k ， k = 2,3,4,...
(k+2)(k+1)
因為 a_3 = 0 所以 a_5 = a_7 = ... = 0
2^(2k) [(k-1)!]^2
a_{2k} = 1/2 * --------------------- , k = 1,2,3,...
(2k)!
∞ 2^(2k) [(k-1)!]^2
因此 y(x) = 1/2 Σ ------------------- x^(2k)
k=1 (2k)!
把 y 微分後除 2 就是答案
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