[分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

[Hyuui (修)]

Chatterly在八卦板提到一些關於複變函數論的結果，但他說的東西有些錯誤。為了避免他
誤導別人，我想拉回來Math板上解說一下，順便補充一些我覺得有趣的東西。

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#1JTsjw0U (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1400335226.A.01E.html

//Gamma解析延拓出去整個到複數平面,所有整數點包括 1 都是奇點//

#1JWWbT8- (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1401031005.A.23E.html

//解析延拓是每一個整數點都不可解析而不是你說的z=1//

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解說如下：

1.

對於實部大於1的複數s，我們定義Zeta函數如下：

Zeta {s} = Sum_n=1~∞ {1/n^s}

Zeta函數的原始定義域是{s | Re(s) > 1}。經過解析延拓(analytic continuation)，可
以拓展為在 {s | s ≠ 1} 的複數平面上的解析函數。

而在 s=1 該點上，即為著名的調和級數。

Zeta {1} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

我之前在某篇文章中提過，17世紀的Pietro Mengoli就證明出調和級數發散。不過我後來
看到另一篇蔡聰明教授的文章，他說：「在1350年左右，N. Oresme（約1323～1382）證
明了調和級數發散， 這是歷史上第一個發散級數的例子。」

這個證明的思路相當簡單，有些讀者在高中時可能就已經學過了。

1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ...

第二個級數的每個括號內的值都等於1/2，無窮多個1/2加起來顯然發散。注意到第一個級
數的每項都大於第二個級數，故第一個級數發散。

因此，Zeta函數在 s=1 是無法解析延拓的。

解析延拓的Zeta函數在s等於負整數的值，有一個方便的公式可以計算：

Zeta {-n} = -B_(n+1) / (n+1)

其中 B_(n+1) 為Bernoulli number。

由於 B_n 在 {n | n為奇數，且n>1} 的值都是0，故 Zeta {-2n} = 0

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2.

對於實部大於0的複數s，我們定義Gamma函數如下：

Gamma {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t} dt

Gamma函數在s等於正整數的值非常容易計算，因為有以下公式：

Gamma {n} = (n-1)!

Gamma函數的原始定義域是{s | Re(s) > 0}。經過解析延拓(analytic continuation)，
可以拓展為在 {s | s ≠ 0 or 負整數} 的複數平面上的解析函數。

在 {s | s = 0 or 負整數} 這些點上，Gamma函數是發散的，但我們可以使用留數定理計
算留數。

Res {Gamma, -n} = (-1)^n / n!

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3.

關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」，可參考這篇文章。

1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/

不過嚴格說起來，解析延拓後的Zeta函數，在額外拓展的定義域上已經不是原本的
「Sum_n=1~∞ {1/n^s}」形式了，所以其實也沒有「Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...」這回
事。我建議把「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」當作物理學家們的一個有趣把戲就好，它並不
是嚴謹的數學結果。

至於「1 + 1 + 1 + ... = -1/2」，不嚴謹地說，則是解析延拓的 Zeta {0} 的值，它在
弦論中有些應用。但請注意，不要把Zeta函數和Gamma函數搞混了。雖然我們知道，Zeta函
數和Gamma函數相乘起來有個很漂亮的關係。

Gamma {s} * Zeta {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t-1} dt

這個關係成立在Zeta函數和Gamma函數原始定義域的交集 {s | Re(s) > 1} 上。

而且這個特殊關係無法改變以下事實：

1. Zeta函數在 {s | s = 1} 發散。
2. Gamma函數在 {s | s = 0 or 負整數} 發散。

在整個複數平面上，我們比較常使用的是Riemann functional equation。

Zeta {s} = 2^s * π^{s-1} * sin {πs/2} * Gamma {1-s} * Zeta {1-s}

我們可以由sin {πs/2}這項再次看出：Zeta {-2n} = 0

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以上是一些關於Zeta函數和Gamma函數的小說明，希望大家能弄清楚這些概念。

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