Re: [分析] 1/(x^2+1)的留數

[jellyfishing (淡藍滴水母)]

※ 引述《mmzznnxxbbcc (黃囧龍)》之銘言：
: 原題是 ∫(0~∞) 1/(x^2+1) dx
: 解答寫上半平面有z=i的pole 所以可以得到 Res(i) = 1/2i
: 結果就是 (1/2)(2πi)(1/2i) = π/2
: 我想請問 z=-i 不用算嗎? 為什麼只看上半平面？
: 如果把Res(-i) = -1/2i 也算進去
: 結果應該會變 0
: 這樣不對嗎? 謝謝

                      y
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                  ──┼──       ↙我是一個半圓^.<
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       ∕             ＊←z=i       ﹨
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───┴───────┴──────┴────＞ x


因為那個函數是偶函數，所以我可以將其寫成從(-∞→∞)的積分的1/2倍

然後我將它推到複數平面上做contour積分

我的contour取的是上半圓，如圖所示


這樣我的半圓就會包到一個pole(z=i)

根據留數定理，這個函數在contour上的積分 = (2πi) x Σ(Residue(pole))

然後我將這個半圓推到半徑為無窮大

這個contour積分就會變成 (欲求積分的2倍) + (圓弧上的積分)

可是因為圓的半徑趨近於∞，圓弧上的積分是0 (自己寫寫看就知道了)


所以contour積分 = (欲求積分的2倍) = (2πi) x Residue(z=i)

→ 欲求積分 = (1/2) x (2πi) x Residue(z=i)


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推 mmzznnxxbbcc:謝謝