作者Chatterly (chatterly)
看板Math
標題Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間Tue May 27 22:16:00 2014
※ 引述《Hyuui (修)》之銘言：
: ※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言：
: : 這本算很簡單的,所以你是要表達Hyuui亂寫嗎?
: : 說過了,我不會做Zeta的解析延拓,因為我不是做數論的,但是我剛剛看這本其實也還好
: : 接下來這本書的 p.178頁 習題15 和16給你提示我作法了,我打的還比較仔細
: : 來呀,證明一下這二題習題展現一下你的本領給大家看看啊,我的證明幾乎就是這習題了
: : 然後更困難以下的習題幾乎是水到渠成了
: : 1+2+3+.....=-1/12
: : 1+1+1+....= -1/2
: : 不要只是丟書好嗎? 我都認真寫算式了,我只是寫給懂得人看得
: Lindemann = Chatterly 在物理板說：
: //
: 這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到,
: 所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂,
: 跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的
: 所以拜託鄉民不要被Hyuui給騙了,他只是把wiki抄一下,然後竟然說他會做Zeta函數的
: 解析延拓(這超難的),如果他有本事不可能我的文章竟然連個一行都debug不出來
: //
: 這讓我感到非常疑惑，因為Zeta函數的解析延拓是數學系大三生就會的東西。
: 中正數學系的情況我不清楚，至少在清華大學數學系，我們都是這樣教的。
: 或許物理系出身的弦論學家比較不在意嚴謹的數學證明，但這一定難不倒他們。
: 而且要說Zeta函數的解析延拓超難，卻說自己會做AdS/CFT，這實在很奇怪。
: 我從未學過解析數論，也很久沒碰複變了，但我可以憑著記憶挑戰一下。
: ──
: 讓我們從一個基本式子開始：
: (我對統計力學不熟，所以不確定這在統計力學中是不是基本的東西。)
: Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt
: 移項一下。
: Zeta {z}
: = 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
: = 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
: 注意到 Int_1~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 是解析函數，記為g(z)。
: 我們要處理的只有 Int_0~1 的部分，
: 所以把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。
: 1 / (e^t -1)
: = 1/t + a_0 t + a_1 t^2 + a_2 t^2 + ...
不要拿你笑死人的Laurent展開,積分Int_0~1是閉區間耶不是開區間耶
: 故
: Int_0~1 {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
: = Int_0~1 {t^(z-2) + a_0 t^(z-1) + a_1 t^z + ...} dt
: = 1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...
: 所以
: Zeta {z}
: = 1 / Gamma {z} * {[1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...] + g(z)}
: 注意到在z等於非正整數的時候，極點都會被Gamma函數抵消掉，
: 所以Zeta函數只有在 z=1 的時候有單極點。
: Q.E.D.
正更是暴露你不會解析延拓,我都說了 解析延拓的結果是下面的結果
你根本就是在誤導鄉民好嗎? 叫herstein出來證明啦,拜託你不要在亂說好嗎?
前面說調和級數所以s=1,自己不會去看E.Stein怎麼寫嗎?
--------------------
在 z=0會爆掉,所以我們必須動一些"手術",然後經過整理
s-1 1 - s-1
∞ z 1 z 1 1 1
Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ----+------
0 z 0 z
e -1 e -1 s-1 2s 12(s+1)
s-1
∞ z
+∫ ------- dz
+ z
1 e -1
這時候稍微有點複變常識的人會知道,只有二個resides必須做,s=0和s=-1
我們會發現上面的函數可以做計算
1 1
-------- = (-1) ξ(-1) 所以 1+2+3+... = - -----
12 12
-1 1
------- = 1 ξ(0) 所以 1+1+1+....= - ----
2 2
所以Hyuui,你不要一直亂造謠說我搞不懂Gamma和Zeta函數好嗎? 正如你對那些人
的攻擊和造謠,拿出一點點點 專業知識 來說嘴好嗎? 你永遠只會扯z=1調和級數發散
我上面已經證明比調和級數更不出初等的解析延拓結果了,請問你呢? 你在那裏?
不要讓我一直打重複的話啦,很無聊耶
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→ Hyuui :不要一直拿自己寫的文複製貼上佔版面啦.... 05/27 22:18
→ Hyuui :1 / (e^t -1) 本來就可以作Laurent展開，你沒學過？ 05/27 22:19
→ Chatterly :我打的就是正確的結果,我早就做完了等herstein出來啦 05/27 22:19
→ Chatterly :拜託你不會就閃邊站好嗎?不要一直亂寫你不懂得專業 05/27 22:20
→ Hyuui :你只說Zeta函數的解析延拓超難你不會做啊。 05/27 22:20
→ Chatterly :你根本是完全胡說八道好嗎?你連爆掉的地方都亂展開 05/27 22:22
→ Chatterly :叫你學長出來證明啦,習題都暗示了他再不會程度太差了 05/27 22:22
→ Hyuui :在z=1那點就爆掉了，這不就是我那篇證明的東西嗎？ 05/27 22:23
→ Chatterly :拜託那是開區間才能做展開,不是每個人程度像你那樣差 05/27 22:25
→ Chatterly :這樣全部都爆掉了你懂不懂,我說的"手術"你懂不懂??? 05/27 22:25
→ Hyuui :我還沒把那個函數積分喔，所以當然可以做展開。 05/27 22:25
→ Chatterly :你趕快叫你學長出來替你解決好嗎? 我完全不想理你 05/27 22:26
→ Hyuui :他說他懶得理你了.... 05/27 22:27
→ Chatterly :他根本也不會做,你就不要再亂寫好嗎?你超級無敵煩耶 05/27 22:28
→ Chatterly :我重頭到尾的解法說明都是一樣的,你只是一直在亂寫 05/27 22:29
→ Hyuui :他都拿到數學PhD了，怎麼可能不會做這種大三的東西？ 05/27 22:30
→ Chatterly :你先去問他你的解法可不可笑好嗎?臉皮有夠無敵厚耶 05/27 22:33
推 yueayase :雖然不想介入2人的紛爭，但是gamma function在s>0 05/28 01:03
→ yueayase :才會收斂吧 05/28 01:03