Re: [中學] 台中學科競賽

[XII (Mathkid)]

※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《anous (阿文)》之銘言：
: : 設p為奇質數，證明：
: :  p      p     p p+j
: : 2 +1-(sigma) C C
: :        j=0    j j
      ^^
       +1 不見了?

: : 是p^2的倍數。
: I. 2^p = (1+1)^p = Σ_{j=0,p} C^p_j
: II. C^p_0 = 1 mod p , C^p_j = 0 mod p , j=1,2,,,p
                                            ^^^^^^^
                                            1,2,..,p-1

: III. C^{p+j}_j = (p+j)(p+j-1)...(p+1)/(j*(j-1)*...*1)
:              = j*(j-1)*...*1/(j*(j-1)*...*1) mod p
:              = 1 mod p, j=1,..,p
: IV. C^p_j (C^{p+j}_j - 1) = 0 mod p^2 , j=1,...,p
: Done.

       p   p     p+j      p     2p       2p
原≡1+Σ  C  (1-C   )≡1+C  (1-C   )≡2-C
      j=0  j     j        p     p        p

     p   p  p
≡2-Σ  C  C    ≡2-2≡0 (mod p^2)
    j=0  j  p-j

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