Re: [微積] 請問微積分

[keith291 (keith)]

※ 引述《iwantzzz (我愛大自然)》之銘言：
: 請問
:   ∞
: ∫  (-6ax^2)exp(-2ax^2)dx = ?
:  -∞

(此積分a ≧ 0才會收斂,以下假設 a > 0)

因被積函數為偶函數

 ∞                        ∞
 ∫(-6ax^2)e^(-2ax^2)dx = 2∫(-6ax^2)e^(-2ax^2)dx
-∞                        0


分部積分:

 ∞                                        ∞    ∞
 ∫(-6ax^2)e^(-2ax^2)dx = (3/2)xe^(-2ax^2)|   -  ∫(3/2)e^(-2ax^2) dx
 0                                         0     0

令 u = √(2a) x

                                                            ∞
                        = lim (3/2)te^(-2at^2) - (3/2√(2a))∫ e^(-u^2)du
                         t→∞                              0

∞
∫ e^(-u^2)du 在精華區 z-3-9有講如何計算
0

                        = 0 -(3/2√(2a))(√π / 2)

                        = (-3/4)(√(π/2a))


因此所求為 2(-3/4)(√(π/2a)) = (-3/2)(√(π/2a))

:   ∞
: ∫  (4a^2x^4)exp(-2ax^2)dx = ?
:  -∞


分部積分一次後可轉換成第一題型式,接著仿上做下去即可


: 不好意思，我找不到相關公式可以代。
: 請問該如何積分呢? 感謝。

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→ wohtp       :補充一下，分部積分那裡是把被積函數分成
→ wohtp       :-6ax^2 exp(-2a x^2) = [3x/2] [-4ax exp(-2ax^2)]
※ 編輯: keith291 (1.162.42.9), 06/08/2014 21:18:07
→ wohtp       :後面那項是 d/dx [ exp(-2a x^2) ]