[中學] 矩形內一點問題

[mack (腦海裡依然記得妳)]

ABCD為一個矩形  P為ABCD內一點
已知 PA = 1
     PB = 2
     PC = 3
     AD = 2*AB
求矩形面積 = ???

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推 tml         :坐標法:令B(0,0),A(k,0),C(0,2k),P(2cosθ,2sinθ)
→ tml         :用k來湊出三角恆等式,答案有點醜...
→ mack        :這是國中資優題  請麻煩用國中生可以理解的解法  謝
→ ckchi       :國中一樣可以座標化啊...
→ ckchi       :設A(0,0) B(k,0) C(k,2k) D(0,2k) P(x,y) , x,y,k>0
→ ckchi       :(1)：PA = 1  =>  x^2 + y^2 = 1
→ ckchi       :(2)：PB = 2  =>  (x-k)^2 + y^2 = 4
→ ckchi       :(3)：PC = 3  =>  (x-k)^2 + (y-2k)^2 = 9
→ ckchi       :(2)-(1)： -2kx +  k^2 = 3  =>  x = (k^2-3)/2k
→ ckchi       :(3)-(2)： -4ky + 4k^2 = 8  =>  y = (k^2-2)/k
→ ckchi       :兩式代回(1)可解k,再式回來可解x,y
→ ckchi       :ps.在解k時可以把k^2叫做t，會變成2次式，
→ ckchi       :不過數字真的有點醜......
→ ckchi       :另外，若不座標化的做法是：
→ ckchi       :作P在AB線段的垂足M、P在BC線段的垂足N
→ ckchi       :設：AB=k,AD=2k,PM=m,PN=n
→ ckchi       :(1)：PA = 1  =>  m^2 + (k-n)^2 = 1
→ ckchi       :(2)：PB = 2  =>  m^2 + n^2 = 4
→ ckchi       :(3)：PC = 3  =>  (2k-m)^2 + n^2 = 9
→ ckchi       :式子和座標化一樣，解法也一樣
→ ckchi       :應該說式子很像，解法一樣
→ poyu2303    :將ΔAPB對B點旋轉-90度，再對B點放大2倍得ΔCEB
→ poyu2303    :ΔAPB~ΔCEB，且∠PBE=90度，然後座標化
→ poyu2303    :取B(0,0)、P(0,2)、E(4,0),設C(x,y)
→ poyu2303    :PC=3得x^2+(y-2)^2=9
→ poyu2303    :CE=2得(x-4)^2+y^2=4
→ poyu2303    :長邊BC=2a得x^2+y^2=4a^2，所求為2a^2
→ poyu2303    :這組方程組比較好解面積為4+(√95)/5
→ muxiv       : 作P在AB線段的垂足M http://yofuk.com