推 orange519 :謝謝~~ 06/12 21:53
※ 引述《orange519 (aoi)》之銘言：
: a, b, c為整數，a>0
: 方程式y=ax^2-2bx+c和x軸有交點，
: 且其交點位於0<x<1內，
(1) 2b 和 a + c 的關係
∵ a > 0
∴ y = ax^2 - 2bx + c 圖形開口向上
又和x軸交點介於 0 < x < 1
由圖形知將 x = 0 代入，c > 0 且 x = 1 代入，a - 2b + c > 0
故 a + c > 2b
(2) a、b、c 的最小整數
將 y = ax^2 - 2bx + c 整理成 y = a(x-b/a)^2 + c - b^2/a
由圖形的頂點知 0 < b/a < 1，故 0 < b < a
因有交點，判別式知 4b^2 - 4ac ≧ 0，即 b^2 ≧ ac
因為 0 < b < a 且 b^2 ≧ ac 且 a + c > 2b 且 3數均為整數
故 b = 1 時，a = 1 且 c = 1，矛盾
b = 2 時，a = 4 且 c = 1 此時為最小整數解
: 想請教版友
: 2b與a+c的大小關係
: 跟
: a, b, c最小的整數
: 答案分別是2b<a+c, a=4 b=2 c=1
: 我是在求出ac=b^2後硬代求出答案，但想請問是否有比較正確的解法呢?
: 謝謝大家
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