※ 引述《k080051009 (黑鬼)》之銘言：
: http://imgur.com/RmztBEz
: 小弟感覺第四題是用均值定理，但是就是解不出來，請各位高手指點一下，謝謝
x
四、設f(x)為一函數且其導函數為f'(x) = ---------
1 + x^2
證明對所有實數a 、 b，我們有下列不等式
1
|f(b) - f(a)| ≦ (---)(|b - a|)
2
證明︰由算幾不等式
1 + x^2 |x| 1
--------- ≧ √(x^2) = |x| => --------- ≦ ---
2 1 + x^2 2
| x | 1 1
∴ |---------| ≦ --- => |f'(x)| ≦ --- 對所有實數 x
| 1 + x^2 | 2 2
1
∴ |f'(c)| ≦ --- 對所有實數 c
2
由均值定理
f(b) - f(a) = (f'(c))(b - a) 對任意實數 a、b , c 介於a和b之間
∴ |f(b) - f(a)| = |f'(c)(b - a)|
= |f'(c)||b - a|
1
≦ (---)|b - a|
2
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