Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言：
: 我看到了 CNSaya 他PO的 https://imgur.com/ZlCZCTJ 的公式
: 利用以前我推導過的公式去推導這個積分的表達式
: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1309405680.A.1E1.html
: http://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1197570283.A.9AD.html
: 再按照 Bernoulli Polynomials 的生成函數的定義推導出了這個公式
: 又第二篇 C大(=L大) 他說有二個resides必須做,s=0和s=-1
: 一開始我很好奇積分再取留數有何意義？試著將這個式子做了s=1的留數
: (後來發現這其實是第二個關鍵 - 積分後取留數)
: 將該積分用s=1 的時候取留數 再照留數的極限定義去做 此極限收斂
: 分母發散 分子就得發散 則得到 1+1/2+1/3 ... -> ∞ 只是這裡正好被H大摸對
: 但 s=-1,0 依此類推得到 1+1+1+ ... = -1/2 , 1+2+3+ ... = -1/12
: 沒錯 我的確得到了C大(=L大)所說的結果 這結果是正確的
: ( 我認為雙方都沒有錯，一方堅持要經過解析延拓，另一方則認為只是茶餘拌飯 )

    這結果是錯的，因為這結論已經不是原始 zeta function 的定義


: 因此我拆項比對他的公式 關於他所PO的積分式再動了些手術
: 我怎麼湊都沒辦法得到那個公式
: 而且我用 mathematica 代數值也兜不攏 於是去問他那個公式的來源
: 我給了他 我的推導 他說我解出了所有的過程 另外我問對於他給的公式的疑問
: 因為一方面他不想讓人google到來源 一方面他是憑印象寫那個公式
: 他不想公開來源 我也就不方便透露來源 我看他的來源 我的確看到了那個 真．手術
: 所以確定他給的公式有缺項 (這是第一且最大的關鍵 - 部分移項)
: 就可以再把我最後的公式改寫成那個 真．手術 的形式


    肯定是 L大 對參考來源哪裡有所誤解


                       s-1
                  ∞  z
     Γ(s)ζ(s)= ∫ ─── dz     ____(1)
                  0   z
                     e -1


    右邊積分式原本收斂於  Re{s} > 1

    不論動任何 "手術" or "真‧手術"

    不可能因此而推得  ζ(-1) = -1/12

    因為 ζ(-1) 必然發散




    不過可以用複變技巧將 (1) 式改寫成:

                              s-1
               Γ(1-s)       z
      ζ(s) =  ────∮ ──── dz     ____(2)
                 2πi   C   -z
                           e   - 1

         其中 C 是包覆 負實數軸 (包含 z = 0 ) 的 contour




    我在想 L大所謂的手術，是指  (1) → (2) 的過程

    但重點在  Γ(1-s) 這個 term

    因為 (2) 式的  gamma function, 已經 generalize 成半純函數

                                ∞  -z    s-1
    不再是我們熟悉的   Γ(s) = ∫  e   * z    dz
                                0

    想當然爾, (2)式 的 ζ(s)  也不會是原始 (1)式 的 zeta function




    喜鵲就是喜鵲，飛錯枝頭本質還是喜鵲，不會因此成鳳凰


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    我覺得討論一件事情，至少要把 condition 講清楚


                     x - y
    例如我宣稱  lim  ─── = -2/3
               x→0  x + y
               y→0

    然後跟大家說  要求得這個極限, 需要做一點 "手術"

    說穿了這個手術，就只是加上這個條件:   (x,y) 要沿著  y = 5x 逼近

    但沒跟大家說這個條件，卻抨擊 "說該極限發散的人" 是錯的

    這種討論是沒有任何意義的


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→ caseypie    :好比喻
→ yueayase    :我覺得應該很多人都知道他"手術"的意思
→ yueayase    :因為光修大學部複變，就知道可以把improper integral
→ yueayase    :和對應的複數封閉曲線積分做對應
→ yueayase    :然後可能用來求某些improper integral的值
→ yueayase    :之所以不獲得認同，是因為他的結果推翻了既有的結果
→ yueayase    :但他又不給detail的過程
推 coolbetter33:GOOD
推 jacky7987   :推個
推 Hyuui       :照理來說他應該修過微積分高微複變，但不知道為什麼
→ Hyuui       :，他連微積分基本定理、高微metric、複變解析延拓的
→ Hyuui       :東西都完全沒搞清楚。我好奇他到底怎麼畢業的？
推 yw1002      :總之他提出了很多直得深入研究的topic 應給予鼓勵嘉
→ yw1002      :這些東西如果真的是unsolved math problem那就可以
→ yw1002      :跟其他一些相關的做出來，看可以得到啥
推 Hyuui       :yw1002想太多，他就只是不學無術又愛嗆聲的人罷了。
推 psion       :其實這個手術 就是物理學家口中的regularization
→ psion       :L大講的霍金方法 其實是講這個 不是原始的zeta
→ musicbox810 :請問(1)要怎麼改成(2)式?
→ muxiv       : 請問(1)要怎麼改成( http://yaxiv.com