[中學] 102 台南一中資優班

[anous (阿文)]

1. 三角形ABC中A,B皆為銳角，CD是高，已知線段比(AD/DB)=(AC/BC)^2，請問三角形

　 形狀為何？　答：等腰或直角三角形

　 這題等腰顯然，但直角湊不出畢氏定理


2. 有一種磚頭長193公分、寬71公分，依下列規則層層堆疊在一起：

   (i) 第一層長朝下，第二層寬朝下、第三層長朝下、第四層寬朝下...依此類推

   (ii)由左至右緊密排列，相鄰兩層，上層總長度為小於或等於下層長度的最大值

   (iii)當相鄰兩層，上層上度等於下層長度時停止堆疊

   請問當第一層長朝下總共有222塊時，到停止堆疊，總共有幾層？

　 答：20層

   這題想用高斯函數，有列出層數的前後項關係，但進行不下去


3. 已知三角形三邊長分別為x,y,z，則

   (i) 以√x , √y , √z 為三邊的三角形必存在

   (ii)以x^2 , y^2 , z^2 為三邊的三角形必存在

   (iii) 以(x+y)/2 , (y+z)/2 , (z+x)/2 為三邊的三角形必存在

   (iv)　以|x-y|+1 , |y-z|+1 , |z-x|+1 為三邊的三角形必存在

 　上述四個結論有幾個正確？

　 答：3個

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→ tml         :1.令a=AD/DC,b=BD/DC原式可化為a+1/a=b+1/b
→ tml         :成立條件為a=b(等腰)或a=1/b(直角,可用相似形推得)
→ tml         :2.一二層突出和為193倍數,二三層突出和為71倍數,可
→ tml         :推得每層突出的量的數列:
→ tml         :33,160,53,140,2,191,22,171,42,151,62,131,11,182,
→ tml         :31,162,51,142,0(二十層)
→ tml         :3.不妨假設x<=y<=z,只要確認較小兩者的和大於第三者
→ tml         :即可(x+y>z為已知),四個選項要抓出最大都不難,答134