推 Frobenius :推 06/18 13:33
※ 引述《nsr1290 (許噴)》之銘言：
: http://ppt.cc/74rK
: Q如何跑出來的
: 誰可以詳列計算過程 感恩!
就只是幾個變數變換而已...
由於其他地方沒有φ
2π
中間的 ∫ dφ 先做, 變成 2π, 跟 σ(θ) 分母的 4π 抵消
0
變數變換消掉三角函數: 令 t = cosθ, dt = -sinθ, 積分範圍變成 1 到 -1
把常數拉出積分後原式變成
q(R^2-p^2)R^2 -1 dt
--------------- ∫ ------------------------
2R 1 (R^2+p^2 - 2Rpt)^(3/2)
2Rp
再次變數變換化簡分母: 令 2Rpt = (R^2+p^2)u, 即 u = --------- t
R^2+p^2
為好寫令這個倍數為 k, 也就是 u = kt
於是 du = k dt, 積分範圍成了 k 到 -k
被積式分母成了 (R^2+p^2)^(3/2) * (1-u)^(3/2) 前面常數拿出去
分子則是 du/k, k 也拿出去
原式成為
q(R^2-p^2) -k du
--------------- ∫ -------------
4p√(R^2+p^2) k (1-u)^(3/2)
這個積分已經夠簡單了, 所以積分過程略
2 |-k 2√(R^2+p^2) * (-2p)
其積分結果是 ---------| = ---------------------- (這裡過程也略)
√(1-u) |k R^2 - p^2
(這裡有一個 gotcha: 你這裡沒寫, 不過應該是有 R > p > 0
若 R > p > 0 成立則 0 < k < 1, 這個積分才能積完直接代, 分母也才會算出 R^2 - p^2)
代回原式, 所有東西除了 q 跟負號外都消掉了, 故原式 = -q #
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基本上這種只是式子看起來嚇人的積分, 做一點變數變換它就脫光光了...
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