推 ChenYM :太感謝了 06/22 09:30
※ 引述《ChenYM (老宅男一個)》之銘言：
: 有二維數據如下表，且和Y對X的最小平方法之回歸直線方程式維y=x+3，X的標準差為Sx
: ，Y的標準差為Sy，Y對X的相關係數為r，則下列哪些選項正確?(1)m>5 (2)n>5 (3)m>n
: (4) I Sy-Sx I < 1(5) 0.3＜＝r<0.7
: 這個要怎麼討論？答案是(1)(3)
: X 1 2 2 3
: Y 3 3 m n
先求一些值
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x = 2, Sx = 1/√2 這兩個沒什麼問題
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y = (6+m+n)/4 這也很容易, Sy 直接求有點繁先跳過
由回歸直線公式
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y - y = r * (Sy/Sx) * (x - x)
展開對照係數得
r * (Sy/Sx) = 1
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y + 1 * (-x) = 3 由此式可立得 y = 5 即 m+n = 14
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再由相關係數公式 r = Σ(x-x)(y-y) / (n Sx Sy)
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得 1 = r * Sy / Sx = Σ(x-x)(y-y) / (n Sx^2)
= ((-1)(-2) + (0)(-2) + (0)(m-5) + (1)(n-5)) / (4 (1/2))
解得 n = 5, 故 m = 9, 即 (1) 對, (2) 錯, (3) 對
接下來就簡單了: 易算得 Sy = √6
化為小數有 Sx ≒ 0.71, Sy ≒ 2.45
易知 | Sy - Sx | > 1, 故 (4) 錯
r = 1 * Sx / Sy = 1 * (1/√2) / √6 = 1 / √12
r^2 = 1/12 ≒ 0.083333 < 0.09 = 0.3^2 故 r < 0.3, 故 (5) 錯
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其實如果能用偏微分的話這題就更簡單了
只是因為原 PO 分類選 [中學] 只好上面放高中程度的做法...
用偏微分的做法如下:
若回歸直線為 y = ax + b 則最小平方法即是要求下式之最小值:
(a+b-3)^2 + (2a+b-3)^2 + (2a+b-m)^2 + (3a+b-n)^2
展開得
18a^2 + 16ab + 4b^2 + (-18-4m-6n)a + (-12-2m-2n)b + 18
分別對 a,b 偏微分, 令結果為 0 得方程組
36a + 16b - 4m - 6n - 18 = 0
16a + 8b - 2m - 2n - 12 = 0
由於 a = 1, b = 3 為原式之最小值, 它們將符合此方程組
代入即可解得 m = 9, n = 5, 後面就一樣了
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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
－－プリンセス・プリンセス 第二話
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