Re: [微積] ｜sinx-x｜ <= (x^2)/2 的証明

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

也來做一下...

※ 引述《dreamer15 ()》之銘言：
: 如題
: sinx-x 的絕對值 小於等於 (x^2)/2
: 該如何證明?  可用均值定理嗎 還是有其他方法   感謝各位了


 1. |sin(-x) - (-x)| = |-(sinx - x)| = |sinx -x|

    所以只要考慮 x >=0 就好。




 2. 這個範圍裡 x >= sinx。

    所以我們比的其實是 (x^2)/2 和 (x - sin x)，絕對值就可以拿掉了。




 3. 考慮 f(x) = (x^2)/2 - (x - sin x)

              = (x^2)/2 + sin x - x

    我們想證明 f(x) 非負。



 4. f'(x) = x + cos x - 1    正負還不清楚...

    f"(x) = 1 - sin x >= 0   這個就確定了



 5. 因為 f'(0) = 0 且 f"(x) >= 0，所以 f'(x) >= 0



 6. 因為 f(0) = 0 且 f'(x) >= 0，所以 f(x) >= 0

    得證。


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   下列哪一隻鋼彈比較厲害？
1. 公式承認尺寸最小的鋼彈
2. 搭載高性能AI，還有越來越誇張的外掛武裝
3. 在希洽曾被水桶
4. 雖然不能飛，但是很會做菜（？
5. 我想不到第五隻

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※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1403455130.A.93E.html
推 dreamer15   :原來一階二階判定也可以做 這方法確實比較淺顯易懂耶
→ dreamer15   :我第一眼還沒辦法連想到在考泰勒餘項@@
老實說，我第一眼看到題目的反應也是：「啊，不就 sinx 級數減掉首項嗎？」

x 接近零的時候，級數三次項起跳會比平方項小。而 x 很大的時候會把 sin x
淹過去，跟平方比還是小，所以命題*大概*是對的。



不過我的經驗裡，級數拿來猜答案很好用，拿來作嚴謹證明卻會比較麻煩。

推 alfadick    :推! 我喜歡系統性解法, 我不喜歡解題亂拼亂湊
→ alfadick    :萬一這題sin改成不好找power series的函數
→ alfadick    :旁門左道就作不了了. 正常的人第一個考慮的一定是
→ alfadick    :像wohtp這樣的標準做法
推 alfadick    :解題目不是亂拼亂湊. 把所有會的亂試
→ jacky7987   :比大小的真諦就是減減看
※ 編輯: wohtp (123.110.172.25), 06/23/2014 17:13:46
※ 編輯: wohtp (123.110.172.25), 06/23/2014 17:30:43
推 lin6613     :我覺得解題目就是要亂試啊XD