Re: [微積] ｜sinx-x｜ <= (x^2)/2 的証明

[ERT312 (312)]

※ 引述《dreamer15 ()》之銘言：
: 如題
: sinx-x 的絕對值 小於等於 (x^2)/2
: 該如何證明?  可用均值定理嗎 還是有其他方法   感謝各位了
柯西定理做兩次(均值定理的變形)
Let f(x) = x-sinx
g(x) = (1/2) x^2
f(x)與g(x)在[0,a]連續,在(0,a)可微,g'(x)≠0
則
f(a)-f(0)      a - sin a     f'(b)     1-cos b
---------  =  ----------- = ------- = ----------     b is in (0,a)
g(a)-g(0)      (1/2) a^2     g'(b)        b

x 與 1-cosx 同樣在[0,b]連續,在(0,b)可微

 1-cos b      sin c
--------- = --------  ≦ 1     c is in (0,b)
    b          1


i.e. as x > 0 , x - sin x ≦ (1/2) x^2

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→ yyc2008     :第一個b怎麼知道是同時發生的? b只知道是0到x之間
→ yyc2008     :會有那麼剛好f g的均值發生在同一點?
→ harveyhs    :這個定理是對的 XD
推 jacky7987   :這就是這個定理厲害的地方XD generlized MVT
推 suhorng     :那是柯西均值定理的敘述 可以用普通均值定理證明
→ jacky7987   :他的證明並不是直接相除 而是像證MVT一樣造輔助函數
是的,造輔助函數 F(x) = f(x) - g(x)(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))
再對 F(x) 用 MVT, 最後 MVT 變成柯西均值定理的特例
※ 編輯: ERT312 (36.238.89.45), 06/23/2014 20:22:48
推 yyc2008     :謝謝 真有趣