[中學] 資優試題

[halfwater (半瓶水)]

設 a,b,c 為互異整數，若

    a^4            b^2           c^4
------------ + ----------- + ------------ = 12
 (a-b)(a-c)     (b-c)(b-a)    (c-a)(c-b)

求序組 (a,b,c) 有幾組解？

先謝謝各位了！~~~


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→ wohtp       :中間那項是b^2還是b^4？
→ halfwater   :題目打b^2，我也懷疑打錯 Q_Q
→ keith291    :2次應該是錯的  左右同乘(a-b)(b-c)(c-a)移項至同側
→ keith291    :可視為變數b的2次式,公式解發現無法為整數
→ halfwater   :如果是 b^4 的話，有辦法解嗎？^_^
→ keith291    :題目改成b^4的話,仿上移項  然後配方
→ keith291    :(12 - ((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)/2)(a-b)(b-c)(c-a)
→ keith291    :=0  又a,b,c互異 故得(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=24
→ keith291    :又24≡0(mod4)且 平方數≡0或1(mod4)  得a+b,b+c,c+a
→ keith291    :都偶數  之後簡單代值可得解為{a,b,c} = ±{4,0,-2}
→ keith291    :共12組解
→ keith291    :令a+b,b+c,c+a分別為2m,2n,2t代入  會解很快
→ halfwater   :了解了，謝謝您！
→ muxiv       : 都偶數  之後簡單代值 http://yaxiv.com