Re: [微積] 帶有三角函式的定積分

[Eliphalet (打電話問功夫)]

※ 引述《jagin (蟑螂五塊錢)》之銘言：
: Dear 各位高手
:    小弟目前正在準備考試，遇到下面難題
:    懇請高手賜教
:    http://ppt.cc/hobN
:    ∫ ( xsin(3x) ) / ( (x^2+1)(x-1) ) dx
:    範圍從負無限大到正無限大
:    感謝感謝


     好像怪怪的，這積分存在嗎？以下是我的推論(這積分不存在)


     假設這個積分存在，則

              1-
     I_1 := ∫   ( xsin(3x) ) / ( (x^2+1)(x-1) ) dx
             -∞

             ∞
     I_2 := ∫   ( xsin(3x) ) / ( (x^2+1)(x-1) ) dx
             1+


     存在。 令 ε>0 為足夠小之正數， n 為正整數使得

             1.  nε << 1

             2.  sin(3)/2 log(n) > 2log(2)


         1-ε
        ∫     ( xsin(3x) ) / ( (x^2+1)(x-1) ) dx
         1-2ε

              1-ε
          >  ∫      1/(x-1) dx = -log(2)
              1-2ε


         1+nε
        ∫     ( xsin(3x) ) / ( (x^2+1)(x-1) ) dx
         1+ε

              (1+nε) sin(3+3nε)   1+nε
         ≧  --------------------- ∫     1/(x-1) dx
              (1+nε)^2 + 1         1+ε


              (1+nε)(sin(3)-3nε)
         ≧  ---------------------- log(n)
                (1+nε)^2 + 1


         ≧  sin(3)/2 log(n)


                1-ε      ∞
      I_ε :=  ∫     +  ∫
                -∞       1+ε


                1-2ε    1-ε      1+nε    ∞
            =  ∫     + ∫      + ∫     + ∫
                -∞      1-2ε     1+ε     1+nε


                          1-2ε     ∞
           ≧   log(2) + ∫     +  ∫
                          -∞       1+nε


       取 ε→0+， 會得到 I_1 + I_2 ≧ log(2) + I_1 + I_2

       產生矛盾。因此這個積分不存在



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.210.50
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1403607126.A.363.html
※ 編輯: Eliphalet (114.46.210.50), 06/24/2014 18:53:43
推 BLUEBL00D   :求柯西主值阿  如sinx/x的無窮積分
→ Eliphalet   :這不是要求 pv 吧？更何況瑕積分不存在啊
推 G41271      :複變練習題就是求柯西主值呀，暇積分值不存在不代表
→ G41271      :柯西主值不存在
                                           ∞
    呃， 他題目有寫要求 pv 嗎？ 這就像 pv ∫  1/x dx = 0 ，
                                           -∞
                   ∞
    但我們不會說  ∫  1/x dx = 0 吧
                   -∞
※ 編輯: Eliphalet (114.46.210.50), 06/24/2014 22:57:22
推 G41271      :恩 我自行腦補成求PV了
→ G41271      :剛剛算了一下,科西主值有存在沒錯.