推 t0444564 :認真推 06/25 08:58
推 suhorng :推,就是這篇! 06/26 14:39
推 chpen :太感謝了！完全明白了！ 06/27 23:59
※ 引述《chpen (元)》之銘言：
: 請問為何 y=sin(2x) , y=sin(x^2) 是合成函數呢？
: 為何微分要用連鎖律去計算呢 ? 謝謝。
你的問題應該是 不用連鎖律 算的起來嗎??
答案是可以的
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我們的微積分課本很明確的說出
f'(x)= lim (f(x+h)-f(x)) / h
h→0
當我們求sinx的微分時 我們是把f(x)=sinx 帶進去 正好得到f'(x)=cosx
我們才會說sinx的微分等於cosx
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至於sin(2x)會不會是cos(2x)呢?
那你就要帶進去上面那條 最原本微分的定義去計算 (事實上是不對的)
而且非常不好算(事實上也不會很難算啦....)
sin(2x)的微分 = lim (sin(2(x+h))-sin2x) / h (依照定義寫出來的)
h→0
= lim (sin(2x)cos(2h)+cos(2x)sin(2h)-sin(2x)) / h (和角公式)
h→0
= lim sin(2x) * (1-cos(2h))/h +cos(2x) * sin(2h)/h
h→0
網路上有很多資料 可以說明 sin(h)/h=1 (1-cosh)/h=0 當h→0時
http://www.youtube.com/watch?v=2Fo2dSDiZJI
https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20110130195223AALXMbI
用同樣的方法 會得到 sin(2h)/h=2 (1-cos(2h))/h=0
帶回去 就會得到 sin(2x)的微分=2cos(2x)
所以不用連鎖率是算的出來的
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但是數學家就問你了
當我遇到sin(g(x))
想求他的微分 難道都要從 最基本的定義開始算嗎
答案是 不要 因為這樣好累
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所以我們就發展出連鎖律來解決 sin(g(x))的問題
舉例來說 我想求 sin(x^2)的微分 (這時候可以把x^2看成g(x))
我就用連鎖律
連鎖律告訴我們 df df dt
－ = －*－
dx dt dx
此時我們發現當我令 f(x)=sin(x^2)
t(x)=x^2
帶進去會得到 df/dx = [ d(sint) / dt * d(x^2) /dx ]
= cost * 2x
= 2x*cos(2x) (t是我假設的 所以最後我全部都要變x)
btw 當我對x的微分 那我被微分的函數 必須寫成x的函數才能微分
當我對t的微分 那我被微分的函數 必須寫成t的函數才能微分
所以我們發現用連鎖律才處理這樣的函數 會比從定義來作來的快
所以可不可以不用連鎖律計算呢？
答案是可以的 只是會很麻煩 有些醜ㄧ點的函數甚至更麻煩
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至於你在推文中的
chpen :請問 f(x)=sin(x) g(x)=x 我可以說sin(x)是合成函數? 06/24 20:36
當然可以囉！！！
按照合成函數的定義
f(g(x))就是合成函數 而你f(x)=sin(x) g(x)=x的假設
正好也說明了sinx可以寫成＂合成函數的形式＂
（所以你應該會發現任何函數都可以寫成＂合成函數的形式＂）
所以才會有板友說廣義上來說 是
我們發展出合成函數的初衷是因為要處理一些比較困難的函數
而不是要回頭針對一些簡單的函數說：你是合成函數嗎？
事實上直接說 ＸＸＸＸ是合成函數嗎 這樣的語法對初學者來說滿突兀的
所以你才會有這個問題
如果換個說法說法 ＸＸＸＸＸ＂可以寫成合成函數的形式＂
感覺你應該比較能接受吧？
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以上希望有回答到你的問題
如果有問題或著我有寫錯的可以ㄧ起討論
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