→ mmzznnxxbbcc:謝謝 長除法有辦法寫出整個勞倫級數嗎? 還是只有1/z? 06/27 14:20
→ jacky7987 :就一直除 總是寫的出來的 06/27 17:05
: f(z) = 1/(e^z -1) 收斂區間 0~2pi 求勞倫級數表示之留數
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: 我的想法是
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: f(z) = 1/e^z x 1/(1-1/e^z)
:
: = 1/e^z (1 + 1/e^z + 1/e^2z + ...)
:
: = 1/e^z + 1/e^2z +1/e^3z
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: 留數為第一項 1/e^z|z=0 => Res(0) = 1
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: 這樣想法對嗎? 有沒有比較簡單的方法 謝謝
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: 1/(z+ z^2/2 +...) 這樣嗎? 這樣有1/z項嗎?
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: 剛剛查了一下
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: 是不是可以對分母微分 再帶z=0 => Res(f(0)) = 1/e^0 = 1 這樣對嗎?
如果你要求勞倫級數表示的話，你說的對，是1/(z + z^2/2 + ...)
只要用長除法就可以求出來了
如果你只要求留數，你說的那個對分母微分的方法是對的
定理：令p(z),q(z)在z_0可解析。若p(z_0)=/=0，q(z_0)=0，q'(z_0)=/=0，則
z_0是p(z)/q(z)的單極點，且p(z)/q(z)在z_0的留數是p(z_0)/q'(z_0)。
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