推 a016258 :第一題 開根號的時候應該會跑出一個負號 07/01 11:34
※ 編輯: LuisSantos (118.167.117.85), 07/01/2014 13:01:18
※ 引述《p0poc0la (批林批歐西林欸婁欸)》之銘言：
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: 拜託了，謝謝大恩大德！
(1) 令 t = 2secθ , 則 dt = (2)(secθ)(tanθ) dθ
-4 -4 -2 5
t = ---- => 2secθ = ---- => secθ = ---- => θ = (---)(π)
√3 √3 √3 6
2
t = -4 => 2secθ = -4 => secθ = -2 => θ = (---)(π)
3
(-4)/√3 √(t^2 - 4)
∫ ------------- dt
-4 t^3
(5π)/6 -2tanθ
= ∫ (----------------)(2)(secθ)(tanθ) dθ
(2π)/3 (8)((secθ)^3)
(5π)/6 -(tanθ)^2
= ∫ --------------- dθ
(2π)/3 (2)((secθ)^2
-1 (5π)/6 (secθ)^2 - 1
= (---)(∫ ------------- dθ)
2 (2π)/3 (secθ)^2
-1 (5π)/6
= (---)(∫ 1 - (cosθ)^2 dθ)
2 (2π)/3
-1 (5π)/6 1 + cos2θ
= (---)(∫ 1 - ------------ dθ)
2 (2π)/3 2
-1 (5π)/6 1 1
= (---)(∫ --- - (---)(cos2θ) dθ)
2 (2π)/3 2 2
-1 θ sin2θ |(5π)/6 -π
= (---)(--- - -------)| = ----
2 2 4 |(2π)/3 24
(2) 令 y = 1 + sinx , 則 dy = cosx dx
x = π/2 y = 2
=>
x = 0 y = 1
π/2 cosx
∫ ---------- dx
0 1 + sinx
2 1 |2
= ∫ --- dy = ln|y| | = ln2
1 y |1
(3) 令 u = e^(2x) , dv = sin3x dx
則 du = (2)(e^(2x)) dx , v = (-1/3)(cos3x)
∫(e^(2x))(sin3x) dx
-1 -1
= (---)(e^(2x))(cos3x) - (∫(---)(cos3x)(2)(e^(2x)) dx)
3 3
-1 2
= (---)(e^(2x))(cos3x) + (---)(∫(e^(2x))(cos3x) dx)
3 3
(令 u = e^(2x) , dv = cos3x dx
則 du = (2)(e^(2x)) dx , v = (1/3)(sin3x))
-1
= (---)(e^(2x))(cos3x)
3
2 1 2
+ (---)[(---)(e^(2x))(sin3x) - ∫(---)(e^(2x))(sin3x) dx]
3 3 3
-1 2 4
= (---)(e^(2x))(cos3x) + (---)(e^(2x))(sin3x) - (---)(∫(e^(2x))(sin3x) dx)
3 9 9
13 -1 2
(----)(∫(e^(2x))(sin3x) dx) = (---)(e^(2x))(cos3x) + (---)(e^(2x))(sin3x) + c
9 3 9
-3 2
∫(e^(2x))(sin3x) dx = (----)(e^(2x))(cos3x) + (----)(e^(2x))(sin3x) + c_1
13 13
9c
, 其中 c_1 = ----
13
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