Re: [微積] 請教一下這兩題積分該怎做呢

[LuisSantos (但願真的能夠實現願望)]

※ 引述《sugar317 (shadow)》之銘言：
: 題目如下
: http://ppt.cc/DFSp
: 代數代換好像都很複雜
: 該如何整理跟代換呢
: 感恩


1. 令 y = x^(1/4) , 則 x = y^4  => dx = (4)(y^3) dy


       x^(1/4)
   ∫---------- dx
      4 + √x

          y
=  ∫(---------)(4)(y^3) dy
       4 + y^2

      (4)(y^4)
=  ∫---------- dy
      4 + y^2

                        64
=  ∫(4)(y^2) - 16 + --------- dy
                      4 + y^2

     4                      1     -1  y
=  (---)(y^3) - 16y + (64)(---)(tan (---)) + c
     3                      2         2

     4                    -1  y
=  (---)(y^3) - 16y + 32tan (---) + c
     3                        2

     4                                  -1  x^(1/4)
=  (---)(x^(3/4)) - (16)(x^(1/4)) + 32tan (---------) + c
     3                                        2






2.  令 t = x^(1/6)  , 則 x = t^6 =>  dx = (6)(t^5) dt


             1
    ∫--------------- dx
       √x + x^(1/3)

            1
 =  ∫(-----------)(6)(t^5) dt
        t^3 + t^2

       (6)(t^5)
 =  ∫-------------- dt
       (t^2)(t + 1)

       (6)(t^3)
 =  ∫---------- dt
       t + 1

                           1
 =  (6)(∫t^2 - t + 1 - ------- dt)
                         t + 1

         t^3     t^2
 =  (6)(----- - ----- + t - ln|1 + t|) + c
          3       2


         √x     x^(1/3)
 =  (6)(----- - --------- + x^(1/6) - ln(1 + x^(1/6))) + c
          3         2




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推 sugar317    :感謝大大 !!
推 sugar317    :L大 請問倒數第4行怎變倒數第3
推 sugar317    :因為我看到不同題目第一直覺看不出來要分成這樣
→ sugar317    :他是否有訣竅呢
→ LPH66       :部份分式, 不過在那之前要先把商式除出來
→ LPH66       :那一行只是個單純的多項式除法而已
→ LPH66       :除完後分母因為是一次式所以就不用部份分式接下去積
推 sugar317    :了解 謝L大