作者cheesesteak (牛排‧起司)
看板Math
標題Re: [中學] 幾題中學問題
時間Fri Jul 4 08:19:50 2014
※ 引述《sam206 ()》之銘言：
: 1. 直角三角形的三邊長為整數，且其面積與周長的值相等，求周長為何?
令兩股a,b 斜邊c
a+b+c=ab/2 c=ab/2-a-b 兩邊平方
c^2=(ab)^2/4+a^2+b^2-a^2*b-ab^2+2ab
(ab)^2/4-a^2*b-ab^2+2ab=0
ab-4a-4b+8=0
a(b-4)-4(b-4)=-8+16
(a-4)(b-4)=8 8=1*8=2*4=4*2=8*1
可得(a,b)=(5,12) , (6,8) , (8,6) , (12,5)
周長=30 or 24
: 2. 在四邊形ABCD中，兩對角線交於O點，若OA=16，OB=8，OC=6，OD=12，且AB=12
: 求AD的長度為何? (用餘弦定理很快就算出2根號166，求不用三角函數的國中解法
看三角形ABD以及在BD上的O即可
可知角OBA為鈍角 且由海龍公式可求出OBA面積=12√15
在B外面作OBA的高AH=3√15 由畢氏定理可求出AB與AD
可得AD=2√166
: 3. 在等腰三角形中AB=AC，角A為30度，點O在三角形的內部，且角OBC=角OCA
: 求角BOC是幾度? (也是求國中的解法，用旋轉好像也算不出來)
令角OBC=角OCA=x度 則角OCB=(75-x)度
故角BOC=105度
: 4. 平行四邊形ABCD中，E、F分別在邊長AB和AD上，且AE:EB=2:3，AF:FD=2:1
: 連BF和CE交於G點，若四邊形的面積是200，求三角形BEG的面積為何?
: 以上都需要國中的解法，謝謝
設AE=2a EB=3a AF=2b FD=b
連接AC與BF交於H 延長BF與CD延長交於I
可得ID=AB/2=5a/2
由孟氏定理 (AH/HC)*(CI/ID)*(DF/FA)=1 可得AH/HC=2/3
(CH/HA)*(AB/BE)*(EG/GC)=1 可得EG/GC=2/5
面積ABCD=200=BEG*(7/2)*(5/3)*2
BEG=120/7
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※ 編輯: cheesesteak (140.112.212.153), 07/04/2014 08:23:29
→ cheesesteak :第4題不用孟氏定理的話 就把每個點座標化吧 07/04 08:24
推 sam206 :感謝分析~不過第三題其實代餘弦是很快~但想知道有沒 07/04 09:13
→ sam206 :國中的方法~~ 07/04 09:13
→ sam206 :第四題的話用孟式定理很快~但不想教這一個方法 07/04 09:14
→ sam206 :不知道有沒有國中的解法呢 07/04 09:14
→ wayn2008 :1F不是有說座標化了嗎? 07/04 09:26
→ wayn2008 :S大都沒仔細看文章嗎?第三題不就是國中解法? 07/04 09:29
推 sam206 :看錯了~是第二題不想用三角函數的方法 07/04 09:33
→ wayn2008 :也沒說用到三角函數呀= = 07/04 09:37
→ wayn2008 :S大請你仔細看完這篇文章...基本上都沒用超出範圍的 07/04 09:39
推 sam206 :謝謝..真是麻煩你了 07/04 09:39
推 sam206 :不用海龍公式也可以算出來..感謝C大 07/04 09:50