Re: [離散] 一題線性差分方程

[XII (Mathkid)]

※ 引述《t0444564 (艾利歐)》之銘言：
: 當a0 = 0 , a1 =1 且滿足
: a(n+2) = 2*a(n+1) - p*a(n), 其中p為質數，
: 求所有能使-1出現在該數列中的p值。
: 這個差分方程有虛根，會表達為cos、sin的形式，但是除了容易看出p=5會有-1之外，
: 實在不知道要怎麼說明其他的p不合或找出其他的p值!!

p=2 => a(n) even ∀n≧2 => no a(n)=-1

Let p>2

x^2-2x+p=0 => x=1±√(1-p)

Let t=√(1-p) => a(n)=(1/(2t))((1+t)^n-(1-t)^n)

a(n)=-1 iff (1+t)^n-(1-t)^n+2t=0

iff 1+C(n,1)+C(n,3)(1-p)+C(n,5)(1-p)^2+..=0  ~①

iff (2^{n-1}+1)+...=0                        ~②

① => (p-1)|(n+1) => n+1=k(p-1)

② => p|(2^{n-1}+1) => -4≡2^{n+1}≡2^{k(p-1)}≡1(mod p) => p=5

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※ 編輯: XII (114.24.45.231), 07/10/2014 00:04:20
推 t0444564    :最後地那招好聰明!!!