推 t0444564 :Thank you!! 數學版真的是人才輩出>< 07/10 23:03
※ 引述《XII (Mathkid)》之銘言：
: ※ 引述《t0444564 (艾利歐)》之銘言：
: : 當a0 = 0 , a1 =1 且滿足
: : a(n+2) = 2*a(n+1) - p*a(n), 其中p為質數，
: : 求所有能使-1出現在該數列中的p值。
: : 這個差分方程有虛根，會表達為cos、sin的形式，但是除了容易看出p=5會有-1之外，
: : 實在不知道要怎麼說明其他的p不合或找出其他的p值!!
: p=2 => a(n) even ∀n≧2 => no a(n)=-1
: Let p>2
: x^2-2x+p=0 => x=1±√(1-p)
: Let t=√(1-p) => a(n)=(1/(2t))((1+t)^n-(1-t)^n)
: a(n)=-1 iff (1+t)^n-(1-t)^n+2t=0
: iff 1+C(n,1)+C(n,3)(1-p)+C(n,5)(1-p)^2+..=0 ~①
: iff (2^{n-1}+1)+...=0 ~②
: ① => (p-1)|(n+1) => n+1=k(p-1)
: ② => p|(2^{n-1}+1) => -4≡2^{n+1}≡2^{k(p-1)}≡1(mod p) => p=5
a(n)=2*a(n-1)-p*a(n-2)≡2*a(n-1)≡2^2*a(n-2)≡...≡2^(n-1) (mod p)
a(n)-a(n-1)=a(n-1)-a(n-2)-(p-1)*a(n-2)≡a(n-1)-a(n-2)≡...≡1 (mod p-1)
so a(n)≡n (mod p-1)
if a(n)=-1
剩下的同上
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^^
('') ~我是可愛的兔子
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