Re: [中學] 四面體

[XII (Mathkid)]

※ 引述《XII (Mathkid)》之銘言：
: ※ 引述《ballballking (蛋蛋王)》之銘言：
: : 今天在寫空間概念的時候想到的
: : 四面體OABC
: : 如果今天四面體的六個邊長都不相等
: : 那要如何求通過O點的高呢?
: : 感謝各位板友!!
: By Cayley-Menger Determinant
: Let OA=a,OB=b,OC=c,BC=x,CA=y,AB=z
:                        |  0   1   1   1   1  |
:                    1   |  1   0  a^2 b^2 c^2 |
: volumn(OABC)^2 = ----- |  1  a^2  0  z^2 y^2 |
:                   288  |  1  b^2 z^2  0  x^2 |
:                        |  1  c^2 y^2 x^2  0  |
:
:                    | 0   1   1   1  |
:                -1  | 1   0  z^2 y^2 |
: area(ABC)^2 = ---- | 1  z^2  0  x^2 |
:                16  | 1  y^2 x^2  0  |
:
:                         3*volumn(OABC)
: the height through O = ----------------
:                           area(ABC)

另解

                       | OA | | OA |^T
volumn(OABC)^2 = (1/36)| OB |*| OB |
                       | OC | | OC |

        |       a^2        (a^2+b^2-z^2)/2  (a^2+c^2-y^2)/2 |
= (1/36)| (a^2+b^2-z^2)/2        b^2        (b^2+c^2-x^2)/2 |
        | (a^2+c^2-y^2)/2  (b^2+c^2-x^2)/2        c^2       |

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→ XII         :其實Cayley-Menger的證明作法類似於此
推 SmallLuLu   :感謝!!!!