推 t0444564 :原來是考慮y=sqrt(x) , 我考慮了 y=1/x ... 07/15 17:40
→ t0444564 :聰明人就是能看到別人想不到的地方 07/15 17:40
※ 引述《t0444564 (艾利歐)》之銘言：
: 設a>0, b>0, n為正整數, 求證
: 1 1 1 2n
: ------- + -------- + ... + -------- < --------------------------
: a + b a + 2b a + nb √[(2a + b)(2a +(2n+1)b)]
: Note:
: 右邊原本是寫成這樣子
: n
: -------------------------
: 1 2n+1
: √(a +---b)(a + ------b)
: 2 2
: 原本用算幾、柯西去壓邊界，但是根本做不出來orz，而且用算幾方向根本不對...
∵√x是凹向下函數 ∴√(x+1/2) + (k-1)√(x+k+1/2) < k√(x+k-1/2)
k√(x+k-1/2)-(k-1)√(x+k+1/2) 1 1
=> ------------------------------- > ----------------- > -----
√{(x+1/2)(x+k+1/2)(x+k-1/2)} √{(x+k)^2-1/4} x+k
1 -(k-1) k
=> ----- < ---------------------- + ----------------------
x+k √{(x+1/2)(x+k-1/2)} √{(x+1/2)(x+k+1/2)}
1 1 n
=> ----- +..+ ----- < ----------------------
x+1 x+n √{(x+1/2)(x+n+1/2)}
取 x=a/b 可得原不等式
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