Re: [微積] 傅立葉轉換積分積不出來

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

※ 引述《koyin (阿光)》之銘言：
: 如下圖~
: 傅立葉轉換的積分我積不出來, 請版大幫幫忙><
: http://ppt.cc/yoIu
: 3Q

旁門左道的作法：



 1. 令 2 pi f = w ，我好少打幾個字


 2. 泰勒展開

                 ∞      n      2n
    cos wt  =    Σ  (-1)  (w t)   / (2n)!
                n = 0



                 2                            2
         2n   -at            2        n    -at
 3.  (wt)    e       =   (- w   d/da )    e


             2n
     總之， t   exp(-at^2)  可以看成  exp(-at^2) 對 a 的 n 階導數



              2
           -at         n      2n
 4.  ∫dt e     Σ (-1)  (w t)   / (2n)!

                                                 2
                     n            2       n   -at
        =∫dt Σ (-1) / (2n)!  (-w  d/da )   e

                                           2
                        2       n       -at
        =Σ 1/(2n)!  (-w  d/da )  ∫dt e


   交換對 a 的微分跟對 t 的積分


                        2       n
        =Σ 1/(2n)!  (-w  d/da )   √(pi/a)




            n                                         n
 5.   (d/da) √(pi/a)  =  {1*3*5*7*...*(2n-1)} (-1/2a)  √(pi/a)




                                     2     n
 6.  原式 = Σ 1/{2*4*6*...*(2n)} ( w / 2a)  √(pi/a)

                     n          2     n
            = Σ 1/[2 (n!)]  ( w / 2a)  √(pi/a)

                                       2     n
            = √(pi/a) Σ 1/[(n!)]  ( w / 4a)


                             2
            = √(pi/a) exp( w /4a )




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我知道可以指數配方，但是懶得解釋那個contour。

只是沒想到這方法寫出來還是落落長...

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※ 編輯: wohtp (121.121.93.61), 07/16/2014 19:04:33
※ 編輯: wohtp (121.121.93.61), 07/16/2014 19:05:10
推 koyin       :太感謝你了!!!