推 Lanjaja :謝謝 07/18 19:17
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 想請問一題定積分的求值
: ∞ 1 - cost
: ∫ －－－－－ dt
: 0 t^2
: Ans: π/2
1
令 u = 1 - cost , dv = ----- dt
t^2
-1
則 du = sint dt , v = ---
t
∞ 1 - cost
∫ ---------- dt
0 t^2
-(1 - cost) |∞ ∞ -1
= ------------| - ∫ (---)(sint) dt
t |0 0 t
-(1 - cosb) -(1 - cost) ∞ sint
= lim ----------- - lim ------------ + ∫ ------ dt
b→∞ b a→0+ a 0 t
π π
= 0 + 0 + --- = ---
2 2
-(1 - cosb)
其中 lim -----------
b→∞ b
cosb - 1
= lim ---------- = 0
b→∞ b
| cosb - 1 | 1 + 1 2 2
( 0 < |----------| ≦ ------- = --- , lim --- = 0
| b | b b b→∞ b
| cosb - 1 | cosb - 1
由夾擠定理 lim |----------| = 0 => lim ---------- = 0)
b→∞| b | b→∞ b
-(1 - cosa)
- lim ------------
a→0+ a
1 - cosa
= lim ----------
a→0+ a
sina
= lim ------ = 0
a→0+ 1
: 另外一個小疑問是
: ∞ (sinx)^2 ∞ sin2x
: ∫ ------ dx = ∫ ----- dx
: -∞ x^2 -∞ x
: 這個等號是怎麼變出來的?
: 謝謝回答
1
令 u = (sinx)^2 , dv = ----- dx
x^2
-1
du = (2)(sinx)(cosx) dx = sin2x dx , v = ---
x
∞ (sinx)^2
∫ ---------- dx
-∞ x^2
(sinx)^2 |∞ ∞ -sin2x
= - ----------| - ∫ ------- dx
x |-∞ -∞ x
∞ sin2x ∞ sin2x
= 0 + ∫ ------- dx = ∫ ------- dx
-∞ x -∞ x
(sinx)^2 |∞
其中 - ----------|
x |-∞
-(sinb)^2 -(sina)^2
= lim ----------- - lim ------------
b→∞ b a→-∞ a
(sina)^2 (sinb)^2
= lim ---------- - lim ---------- = 0 - 0 = 0
a→-∞ a b→∞ b
(sina)^2 1
( 0 < (sina)^2 < 1 => 0 < ---------- < ---
a a
1 (sina)^2
∵ lim --- = 0 ∴ 由夾擠定理 lim ---------- = 0
a→-∞ a a→-∞ a
(sinb)^2
同理 , lim ---------- = 0 )
b→∞ b
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