→ wohtp :這... sin^2θ 變回 x^2 是可以啦，但是 dθ不能直接 07/20 21:43
→ wohtp :變 dx 吧？ 07/20 21:43
→ wohtp :原題一整串落落長變成只有 x^2，你不覺得詭異嗎 XD 07/20 21:44
→ wohtp :下面那題也有傻錯誤。H大睡眠不足嗎？ XD 07/20 21:46
※ 引述《ericakk (ericakk)》之銘言：
: 請問一題根式的積分 我在轉換積分範圍有障礙 請幫我看看 感謝
: a x^2
: 題目 ∫ ------------------- dx
: 0 (a^2－x^2)^(1/2)
: 我的作法: 原式可改寫成
: a (x/a)^2
: a^2 ∫ ---------------------- d (x/a)
: 0 (1－(x/a)^2)^(1/2)
: 接著令 cosθ= (x/a)
: 上式可再改寫成
: (－a^2)∫(cosθ)^2 dθ
: ＝(－a^2)∫ 1＋cos2θ dθ
: ----------
: 2
: ＝(－a^2)∫ 1＋cos2θ d 2θ
: ----------
: 4
: 我的障礙是積分範圍的界定是這樣嗎:
: 0＜x＜a
: → 0＜(x/a)＜1
: → 0＜cosθ＜1
: → 0＜θ＜π/2
: → 0＜2θ＜π
:
: 所以 (－a^2)∫ 1＋cos2θ d 2θ 的積分範圍是 0＜2θ＜π 這樣嗎??
: ----------
: 4
x^2
F(x) = ∫ ───────── dx
(a^2－x^2)^(1/2)
let x=asinθ , dx = acosθdθ , -0.5π<θ<0.5π
a^2 sin^2 θ
F(x) = ∫ ─────── ‧acosθdθ
acosθ
1
= a^2∫ sin^2 θ dθ = ∫x^2 dx = ── x^3 +c
3
than we get
a x^2 1 │a
∫ ──────── dx = ──x^3 │ = a^3/3
0 (a^2－x^2)^(1/2) 3 │x=0
如果要用轉換積分區間法
附表供參考 解題較慢 不另提供解法
x │ 0 │ a
─┼──┼───
θ│ 0 │ 0.5π
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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside
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