→ wohtp :光是 |f(x)| <= |x| 不能證明沒有絕對級值吧？ 07/24 14:21
※ 編輯: Honor1984 (220.136.215.193), 07/24/2014 23:56:54
※ 引述《jouen (呵呵)》之銘言：
問題1
: 題目問f有幾個critical points(臨界點）？
問題2
: 在何處落在x軸？
問題3 問題4
: f有無絕對極值（大.小)?
: 用微分方式。
: 求解
f(x) = xsin(1/x)
f'(x) = sin(1/x) - (1/x)cos(1/x)
f"(x) = -(1/x)^3 sin(1/x)
1.
滿足tan(1/x) = (1/x)的點x有無窮多個
所以有無窮多個critical points
尤其是靠近原點
2.
令u = 1/x
顯然u = 0是sin(u) - (u)cos(u) = 0的一解
下一個分別在負與正方向上使sin(u) - (u)cos(u) = 0的u記為u_-1 < 0與u_1 > 0
u_1 ~< 3π/2, u_2 ~< 5π/2, ...
u_-1 ~> -3π/2,... 其餘u_n依此類推
3.
f(x)是偶函數
只需討論x > 0的情況 x < 0的部分依此類推
定義x_n = 1/u_n
相對極大值發生在f(x_2k = 1/u_2k) = sin(u_2k)/u_2k k =/= 0
0 < i < j 雖然(2i+1)π/2 - u_i > (2j+1)π/2 - u_j
但速度比不上1/u因子降得快
0 < x_2i < x_2j f(x_2i) < f(x_2j)
所以相對極值隨x增大而變大
(0, u_1)中 sin(u) - (u)cos(u) > 0
(u_-1, 0)中 sin(u) - (u)cos(u) < 0
f(u_±1) = (1/u_1)sin(u_1) < 0
且|f(u_±1)| < 1/u_1
因為
lim f'(x) = 0
x→±∞
lim xsin(1/x) = 1
x→±∞
所以f(x)無絕對極大值
4.
同3.論證
0 < i < j
有|f(x_(2i+1))| < |f(x_(2j+1))|
=> 0 > f(x_(2i+1))| > f(x_(2j+1))
所以f有絕對極小值
且發生在|x| = 1/u_1
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.141.71.133
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1406145800.A.8BA.html