推 facebone :不好意思問個蠢問題 ∥是什麼意思@@ 07/29 22:27
→ XII :p^k∥n即p^k|n但n不為p^{k+1}的倍數 07/29 22:46
→ facebone :感謝! 第一題每個步驟我都想了一下 實在太神了@@ 08/04 03:44
※ 引述《facebone (骨頭臉蛋)》之銘言：
: 1. a,b,c皆為正整數 且最大公因數為1
: 若1/a+1/b=1/c 證明(a+b),(a-c),(b-c)為完全平方數
令a+b=k,ab=ck,任取質數p
設p^r∥k,p^m∥a,p^n∥b,其中r≧1
=> p|ck=ab => m或n≧1 => m,n≧1 => c不為p倍數
又p^{m+n}∥ab=ck,故p^{m+n}∥k
若m≠n,則p^{min{m,n}}∥a+b=k => m+n=min{m,n},矛盾
故m=n => r=2m => k=a+b為平方數
a-c,b-c同理可證
: 2.圓內接四邊形邊長為25,39,52,60
: 求此圓的半徑
設圓內接四邊形邊長依序為a,b,c,d
四邊形面積
=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
=(1/2)(ad+bc)√{(ab+cd)(ac+bd)/(ad+bc)}/2R
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
其中一條對角線
故
R=(1/4)√{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}/√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
= {--------------------------------------}^(1/2)
(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)
ps. 本題可猜出直徑為65
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※ 編輯: XII (111.250.52.222), 07/29/2014 19:43:47