[分析] 關於 S^1 的旋轉

[tiwsjia (佳佳)]

考慮 S^1 = [0,1) 且其上的旋轉函數 Ra: [0,1) -> [0,1), Ra(x) = x + a (mod 1)

已知若 a 是無理數，則對於所有 x \in [0,1)，其軌跡 { (Ra)^n(x) : n 正整數 }
在 [0,1) 稠密。

現考慮兩個不同的無理數 a, b， a/b 不為有理數，定義

R: [0,1)^2 -> [0,1)^2, R(x,y) = (x+a, y+b)

想請問：

給定任意的 (x,y)，是否存在某個子數列 (n_j)_j 使得

R^(n_j)(x,y) -> (x,y) 當 j -> ∞

非常感謝！

＿＿＿＿＿

這個問題有另外的詮釋，考慮 torus T = [0,1)^2 上的 linear flow，

S(t;x,y) = (x+ta, y+tb), t 為實數

因為 a/b 不為有理數（在此不需 a, b 是不同的無理數，但我多給條件），

則軌跡在 T 中稠密。

現在 R 是 S 的離散動力系統，亦即 R^n(x,y) = S(n;x,y), n 為整數

我的問題是：已知「連續的軌跡」在 T 中稠密，是否「離散的軌跡」也在 T 中稠密？

佳佳

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→ THEJOY      :(x,y)落在哪？
→ THEJOY      :抱歉，我好像問了個蠢問題XD
推 THEJOY      :我在去年王金龍老師的微分幾何習題有看過這題
推 jacky7987   :金龍習題只有叫我們證原po已知而已
推 yw1002      :這是代數幾何？
→ wickeday    :感覺就是基本的微積分? 如果我沒誤解題目的話, 你只
→ wickeday    :需要證明: 對任意的 e>0, N 正整數, 存在 n>N 使得
→ wickeday    :|R^n(x,y)-(x,y)|<e, 而這件事基本上 trivial 這樣.
→ tiwsjia     :(x,y) 落在 [0,1)^2. 這是線性代數遇到的題目，只是
→ tiwsjia     :我的問題是簡化的版本。
→ tiwsjia     :能否請 wickeday 分享一下證明，如果很 trivial 的話
→ tiwsjia     :感激不盡～
→ wohtp       :你都已經知道軌跡稠密了，不是trivial嗎？
→ wohtp       :子數列不存在 => 軌跡完全避開那個圓
→ tiwsjia     :我有兩個圓，但只能取一個子數列。
→ tiwsjia     :阿，謝謝你的提醒，問題就是要證軌跡在 [0,1)^2 是否
→ tiwsjia     :稠密。那不是「已知」，不好意思。
※ 編輯: tiwsjia (109.45.24.2), 08/09/2014 02:31:19
※ 編輯: tiwsjia (109.45.24.2), 08/09/2014 02:50:02
※ 編輯: tiwsjia (109.45.24.2), 08/09/2014 02:51:14
推 yw1002      :google到在ergodic theory的書有看到
→ tiwsjia     :不太確定是否需要 ergodic theory 中的大定理。
→ willydp     :基礎的分析而已, 但概念是ergodic沒錯.