※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 考慮 S^1 = [0,1) 且其上的旋轉函數 Ra: [0,1) -> [0,1), Ra(x) = x + a (mod 1)
: 已知若 a 是無理數，則對於所有 x \in [0,1)，其軌跡 { (Ra)^n(x) : n 正整數 }
: 在 [0,1) 稠密。
Fact 1.
若a為無理數,則A={na (mod 1):n為正整數}在[0,1)稠密
pf.
a為無理數 => A為無限集合
鴿籠原理 => 對任意正整數N,存在正整數n_1>n_2使得0<|(n_1-n_2)a (mod 1)|<1/N
令b=(n_1-n_2)a (mod 1),B={nb (mod 1):n為正整數}
0<|b|<1/N => B∩[k/N,(k+1)/N)非空(0≦k≦N-1)
B包含於A => 對任意正整數N,整數k(0≦k≦N-1),A∩[k/N,(k+1)/N)非空
=> A在[0,1)稠密
---------------------------------
故{Ra^n(x):為正整數}=x+A (mod 1)在[0,1)稠密
: 現考慮兩個不同的無理數 a, b， a/b 不為有理數，定義
: R: [0,1)^2 -> [0,1)^2, R(x,y) = (x+a, y+b)
: 想請問：
: 給定任意的 (x,y)，是否存在某個子數列 (n_j)_j 使得
: R^(n_j)(x,y) -> (x,y) 當 j -> ∞
: 非常感謝！
若1,a,b線性獨立/Q,則A={n(a,b) in T:n為正整數}在T稠密
pf.
前提 => a,b為無理數 => A為無限集合
鴿籠原理 => 對任意正整數N,存在正整數n_1≠n_2使得
(n_1-n_2)(a,b) in [0,(1/√2)N)×[0,(1/√2)N)
令(c,d)=|n_1-n_2|(a,b),B={n(c,d) in T:n為正整數}
令C={t(c,d) in T:t為正實數}
若d/c為有理數,則1,a,b不線性獨立/Q,矛盾,故d/c為無理數
Fact 1. => C∩{0}×[0,1)={0}×{n(d/c) (mod 1):n為正整數}在{0}×[0,1)稠密
=> C在T稠密 =>
對任意整數r,s,0≦r,s≦N-1
存在C∩[r/N,(r+1)/N)×[s/N,(s+1)/N)的一連續線段,其長度>N
|(c,d)|<N => B∩[r/N,(r+1)/N)×[s/N,(s+1)/N)非空
B包含於A => 對任意正整數N,整數r,s,0≦r,s≦N-1,均有
A∩[r/N,(r+1)/N)×[s/N,(s+1)/N)非空
=> A在T稠密
---------------------------------------------------------------
這個方法應可推到更高維的情況
: ＿＿＿＿＿
: 這個問題有另外的詮釋，考慮 torus T = [0,1)^2 上的 linear flow，
: S(t;x,y) = (x+ta, y+tb), t 為實數
: 因為 a/b 不為有理數（在此不需 a, b 是不同的無理數，但我多給條件），
: 則軌跡在 T 中稠密。
: 現在 R 是 S 的離散動力系統，亦即 R^n(x,y) = S(n;x,y), n 為整數
: 我的問題是：已知「連續的軌跡」在 T 中稠密，是否「離散的軌跡」也在 T 中稠密？
: 佳佳
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