Re: [微積] 一題積分

[Eliphalet (打電話問功夫)]

※ 引述《jouen (呵呵)》之銘言：
: http://i.imgur.com/pcyXIFN.jpg
: 用除了分數分部（partial fraction)的方法。
: 試過拆成三角代替和反函數積分，但算不出來
: 有解嗎？

  當然有...

                                      dt
  我只寫概略，首先把積分換成 4 ∫ -------------  ， t = 2x
                                   (t^2 + 1)^2


  1.  1/(t^2+1)^2  = (t^2+1 - t^2)/(t^2+1)^2

                   = 1/(t^2+1) - t^2/(t^2+1)^2


  2. 可用分部積分得到  ∫ t^2/(t^2+1)^2 dt

                       = ∫ t * t/(t^2+1)^2 dt

                       = 1/2 [-t/(t^2+1) + arctan(t)]


  3. 答案是 2 * [ t/(t^2+1) + arctan(t) ]，代入 t = 2x 即可


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推 jouen       : 請問那如果要用三角替代要怎麼處裡外面的平方而造
→ jouen       : 出根號？
→ Yogaga      : 1. 令x=(1/2)tanθ
→ Yogaga      : 2. (cosθ)^2 半角公式展開
→ Yogaga      : 3. finished
→ Yogaga      : (cosθ)^2 = (1+cos2θ)/2