Re: [其他] 笛摩根證明

[ERT312 (312)]

※ 引述《Deltak (藍田五十弦)》之銘言：
: alf大好像犯了循環證明的錯誤
: 這裡提供一下我的證法
: x屬於(AUB)'  等價於 x不屬於(AUB)  等價於 x不屬於A且x不屬於B
: 等價於 x屬於A'且x屬於B'  等價於 x屬於(A'交B')
x 不屬於 A∪B 等價於 x不屬於A 且 x不屬於B
這裡已經偷偷用了 DeMorgan's laws

x 屬於 A∪B 的定義是 x 屬於 A 或 x 屬於 B
其否定是 x不屬於A 且 x不屬於B
這就是 DeMorgan's laws

邏輯上的 DeMorgan's laws:
﹁(P或Q) <=> ﹁P 且 ﹁Q  ;  ﹁(P且Q) <=> ﹁P 或 ﹁Q

用來證明集合上的 DeMorgan's laws:
(A∪B)' = A'∩B'  ;  (A∩B)' = A' ∪ B'

並無不妥，也沒有循環論證的問題。
循環論證是指用邏輯上的 DeMorgan's laws 來證明集合上的 DeMorgan's laws
並且用集合上的 DeMorgan's laws 來證明邏輯上的 DeMorgan's laws

但是證明邏輯上的 DeMorgan's laws，我們可用真值表
沒辦法由集合上的 DeMorgan's laws 來證明

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推 alfadick    : 推,我在他下面回文質問他那步怎過來的,就是這意思xd
推 Deltak      : 原來如此
推 kerwinhui   : 為什麼沒辦法？從集合上的 De Morgan's law，加上
→ kerwinhui   : Stone's representation theorem (Boolean algebra)
→ kerwinhui   : 可得 De Morgan's law for boolean algebra，而
→ kerwinhui   : 邏輯上的 DeMorgan's law 則從Completeness theorem
→ kerwinhui   : 加上 boolean algebra 的 DeMorgan's law 可得
→ kerwinhui   : 當然，證Stone's要某種Choice(ZF下Stone等同BIP)
→ kerwinhui   : 打錯了是 BPI (Boolean Prime Ideal theorem)
→ ERT312      : 這樣會不會有循環論證的問題?
→ alfadick    : 唉呀 我是說就naive set theory的範圍內~~
→ alfadick    : 一開始g大要的證明, 以及我跟Deltak大所寫的
→ alfadick    : 都是侷限在樸素集合論裡的東西.
→ alfadick    : 當然也可能g大一開始要的就要是那些更高深的集合論
→ alfadick    : 的證法XD 那我還沒學過, 就不能回答了QQ
推 kerwinhui   : ERT312，沒有循環論證的問題，SRT沒有用到邏輯DML
→ ERT312      : 我的意思是集合上的DML可以完全不用到邏輯上的DML嗎
→ ERT312      : 至於SRT，其實我沒看過，也完全不懂。
推 kerwinhui   : 可以完全不用到，如在ZF+V=L上，所有的東西都是集
→ kerwinhui   : 邏輯DML用Completeness theorem會變成另一個句字