作者alfadick (悟道修行者)
看板Math
標題Re: [微積] 值域
時間Wed Aug 20 22:09:41 2014
話說前頭 我覺得你思路清晰
解法也寫得很有條理
你以後可以考慮當老師 學生會很幸福~~
※ 引述《finaltry (finaltry)》之銘言：
: 標題: [微積] 值域
: 時間: Wed Aug 20 15:47:03 2014
:
:
: 下面的解題過程中有疑問 請板友解惑 謝謝
:
: 題目:設y=(x-3)/(x^2-x-2) 試求值域?
:
: 解法:
:
: 第一步
:
: 定義域為 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1
:
: 原式 y=(x-3)/(x^2-x-2) 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1
: <=>yx^2-yx-2y=x-3 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1
: <=>(y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 第二步
:
: 因為 x屬於R
: ^^^^^^^^^^^^^
錯錯錯錯錯，這步錯
這步應該講說，我們現在的目標，是要
找出哪些y，會使得x在R\{-1,2}有解
那要怎麼做呢？答案是，完全不能做。
我們手邊沒有這種工具。
我們手邊僅有的，只有「
找出哪些y，會使得x有實數解」(國中教的判別式)而已。
那怎麼辦？沒辦法了，只好勉強湊合著先用。當然你都我知道，這有bug！
繼續follow你的解法：
: =>判別式大於等於0
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: <=>(y+1)^2+4y(2y-3) 大於等於0
: <=>y大於等於1 或y小於等於1/9 (即為值域)
最後一句話是對的：y大於等於1 或y小於等於1/9，但說這即為「值域」，這叫狗屁。
我們剛就知道了，這樣有bug。
這樣我們只知道 y>=1 or y<= 1/9 時，x
有實數解
但萬一好巧不巧，他媽的這個x就是-1或2怎麼辦？這可不是沒有可能喔
這種會使x變成-1或2的y，可不能要阿。
再講一次，你用b^2-4ac只能判斷x有沒有解、重不重根，可是你無法藉此掌握x的範圍
那該怎麼辦？
驗算！
(y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0
x 以 -1 代入時， 4=0，矛盾， y 無解
x 以 2 代入時， 1=0，矛盾， y 無解
什麼意思呢？就是這個方程式阿(雙變數方程式)，
不可能有個解叫做 x=-1, y= 某某某
也不可能有個解叫做 x=2, y= 某某某，這是不可能的。
換句話說，不管你這個y是誰，就這個方程式而言，你的x都不會是-1或2
反應在我們剛討論的東西上面，就是說當你 y>=1 or y<= 1/9也好，
y是她媽的隨便實數也罷，那個x再怎樣不可能解出-1或2來。
所以，(y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0，由判別式知 y>=1 or y<= 1/9 時，x才有實數解，
並且由剛才的討論，這些x沒有一個人會是-1或2，
也就是說，y>=1 or y<= 1/9 時，x有解R\{-1,2}
所以，f(x)=(x-3)/(x^2-x-2) 的值域就是 [1,無限大) or (-無限大,1/9]
:
: 困惑: 請問 由劃底線的地方 感覺好像不是充要條件
:
: 為什麼x不等於2 且x不等於-1 沒有用到
沒錯，因為他亂寫。
:
: 請問怎麼知道求出y的範圍即是所有可能的值(會不會裡面有不合的值)
:
: 懇請解答 謝謝:)
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: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.231.120.180
: ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1408520826.A.F04.html
: → kerwinhui : 因為這是用y去求有可能的x，所以一定要有實根x，反 08/20 18:03
: → kerwinhui : 過來說，這些實根x必能得出我們所要的y值 08/20 18:05
: → kerwinhui : 如果你額外代進x=2或x=1會得出分子必須也是0，但這 08/20 18:08
: → kerwinhui : 則說明x=3… 08/20 18:09
: → kerwinhui : 呃…是x=-1不是x=1 08/20 18:10
: → finaltry : 不是很懂 能否請您進一步解釋? 08/20 21:34
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.214.111
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※ 編輯: alfadick (220.136.214.111), 08/20/2014 22:16:11
我用電腦跑出了一個只用判別式>=0來判斷值域會出錯的反例,
足以證明你看到的那個解法完全是亂解的
因為驗算的動作絕對必要。
也就是你所說的：
困惑: 請問 由劃底線的地方 感覺好像不是充要條件
為什麼x不等於2 且x不等於-1 沒有用到
請問怎麼知道求出y的範圍即是所有可能的值(會不會裡面有不合的值)
※ 編輯: alfadick (220.136.214.111), 08/20/2014 22:57:33
推 LPH66 : 會有這種狀況大概是原式在 x=那種值會變成 0/0 吧 08/21 08:19
對對對 我湊出來的反例就是這種
只是我懶得去想怎樣的函數會發生這種只靠判別式會出錯的例子
所以直接用Mathematica產生這種例子
推 njru81l : 補一點，y=0時不能用判別式(非x的二次式) 08/21 09:08
→ njru81l : y=0的情況，要另外驗x=3 08/21 09:09
啊啊！我沒想到這個！
還好我有看到原PO的問題 順手來回一篇 然後閣下來推文補充
否則我可能永遠都不會注意到還有這個問題要考慮！
(ps: y=0時, x=-3, njru有小筆誤)
※ 編輯: alfadick (220.136.214.111), 08/21/2014 09:41:09
推 finaltry : 能否向您詢問反例? ps.是x=3 -3 @@?? 08/21 11:23
f(x)=(x-2)/(x^2-x-2)
令 y= (x-2)/(x^2-x-2) => y(x^2-x-2)=(x-2)
你做做看，照他那個錯誤解法，直接用根與係數下去做，會死人
※ 編輯: alfadick (220.136.214.111), 08/21/2014 12:11:47
推 G41271 : good 08/21 17:20
推 LPH66 : 其實原因就是在 0/0 上, 上面這個例子當 x=2 時出現 08/21 20:47
→ LPH66 : 0/0, 而若考慮極限則在 x=2 的極限為 1/3 08/21 20:48
→ LPH66 : 所以 y=1/3 的狀況要分開考慮 08/21 20:48
→ LPH66 : 實際做下去會發現 y(x^2-x-2)=(x-2) 在 y=1/3 時 08/21 20:50
→ LPH66 : 只能解出 x=2, 這代表原式的值域裡沒有 1/3 08/21 20:50
→ yyc2008 : 解出x=2代表重跟 為什麼說值域沒有1/3? 明明就存在 08/21 20:57
→ yyc2008 : 分母會變0 08/21 21:46
你可以用 WOLFRAMALPHA 確認
值域真的沒有 1/3
推 njru81l : 筆誤XD。之前有想過這個問題，得到的結論是： 08/21 22:06
→ njru81l : 在分子1次式，分母2次式，且兩式互質時，值域恰等於 08/21 22:07
→ njru81l : 判別式給出的範圍 08/21 22:08
推 finaltry : y=0時,x=3 還是y=0時,x=-3 ? 08/21 23:01
→ finaltry : nj大您所說的結論是怎麼來的 可否給個提示 08/21 23:07
※ 編輯: alfadick (220.136.214.111), 08/21/2014 23:10:32
→ finaltry : 我在原本的那篇 有把解答重寫 想請各位看看:) 08/22 00:11
推 yueayase : y=P(x)/Q(x), P(x), Q(x)至少有一為二次式 08/22 02:25
→ yueayase : 如此一來，這個會使得判別式>=0的y，在原分式中 08/22 02:28
→ yueayase : 就會變成0/0，不應在y=P(x)/Q(x)的值域 08/22 02:29
→ yueayase : 喔，少了一行，若P,Q不互質，則存在公因式ax+b 08/22 02:30
推 njru81l : To final大，基本上差不多是樓上講得那樣 08/25 10:28
→ njru81l : 互質會導致0/0不會發生 08/25 10:29