Re: [微積] Simpson's Rule 誤差估計證明的疑問。

[kerwinhui (kezza)]

※ 引述《sinoky (交大牙刷哥)》之銘言：
:                      x2
: 為了方便，符號簡化: ∫   dx = ∫  ,  h = x2-x0
:                      x0
: Thm:
:    Given [x0,x2] , x1 = (x0+x2)/2, assume f in C^4[x0,x2]
:    ∫f = (h/3) * ( f(x0) + 4f(x1) + f(x2) ) - (h^5/90)*f^(4)(ξ)
:          ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    ~~~~~~~~~~~~~~~~~
:               這項是標準的辛普森法              這項是誤差
: 我對定理證明中，誤差項的來原有疑問。 先給課本證明
: <pf>
: By Taylor's expension at x1
: ∫f = ∫ f(x1) + f'(x1)(x-x1) + ... +  f^(4)(ξ1)/24 * (x-x1)^4
:     =  2h*f(x1) + (h^3/3)*f''(x1) + h^5*f^(4)(ξ1)/60
:        ( 一次微分項 、 三次微分項會正負互消)

這裡你的寫法有錯誤(原書不是這樣寫的)。在
f(x) = f(x_1) + f'(x_1)(x-x_1) + ... + f''''(ξ(x))/24 * (x-x_1)^4
ξ(x) 不是常數，它的值可隨 x 改變(而且肯定會改，除非 f 是四次多項式)
但可以證明有一ξ_1 在 (x_0,x_2) 可使
x_2
∫ f = 2h f(x_1) + (h^3/3) f''(x_1) + h^5 f''''(ξ_1)/60
x_0

:     =  2h*f(x1)
:        + (h^3/3)*[ (1/h^2)*(f(x0) - 2f(x1) + f(x2)) - (h^2/12)*f^(4)(ξ2) ]
:        + f^4(ξ1)/60
:        ( 這裡是對二次微分項做中差，也就是泰勒展開式，所以又得到一個4次微分誤差)
:     =  (h/3)*( f(x0) + 4f(x1) + f(x2))
:        - (h^5/12)*[ 1/3*f^(4)(ξ2)-1/5*f^(4)(ξ1))]
: 接下來剩下證明 ξ1 = ξ2 即可。 而這裡也是我不懂為何可以這麼做的地方

接下來不是要證明 ξ_1=ξ_2，而是原書要讀者用其他方法證明可以找到 ξ
這個方法只能是 heuristic，不能作證

: 而這部分課本將它放在習題，做法是:
: Let f(x) = x^4  and ∫f = (h/3)*( f(x0) + 4f(x1) + f(x2) ) + kf^(4)(x)
: 將f代入，即可推出 k = -h^5/90

的確，但這依然不能證明有這種誤差，而是假設有 f''''(ξ) 這種誤差找它的系數

: 非常不了解為何這樣就可以說明 ξ1 = ξ2
: 想請高手解答，感謝。
: 參考書目: Numerical Analysis , Richard L. Burden , J. Douglas Faires
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: Simpson's rule 是一個基本的數值積分方法
: James Stirling 在1730好像有給出一個證明，不過我沒有查到詳細內文
: 另外還有一個方法是，將內插中點多塞一個重複的，變成[x0,x1,x1,x2]
: 利用 mean value thm of intergral 與 Lagrange iterpolation error
: 可以直接導出 Simpson's rule 的誤差

另一個方法是直接相減然後用泰勒展開h後拿某個 remainder form

通常 Numerical Analysis 的書都會是把 Simpson's rule 當作 Newton-Cotes
的應用吧？

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je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo    --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum   --- ____, Principia Philosophiae (1644)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.101.4
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※ 編輯: kerwinhui (140.112.101.4), 08/22/2014 21:01:56
推 sin55688    : 感謝你的回答。 你說的另外一個方法，是在積分內做
→ sin55688    : 泰勒嗎? 我之前有找到一個方法，利用微積分基本定理
→ sin55688    : ，之後再泰勒相減，但最後一樣有xi_1,xi_2的問題。
→ sin55688    : 我內文四次導數積分的確有誤，要用MVT。
不是，我是指設

E(h) = ∫f - (辛普森法)

很明顯 E(0)=0; E'(0)=0; E''(0)=0 和 E'''(0)=0
E''' 只有用到 f'' 和 f'''，所以還是 C^1，故 remainder term
      h
R_3 = ∫E'''(t) ... dt
      0
用 MVT 可證 R_3 = -h^5 f''''(ξ)/90.
※ 編輯: kerwinhui (111.243.203.222), 08/22/2014 21:51:20