[中學] 簡單不等式求解@@

[t0444564 (艾利歐)]

現在有a,b,c,d > 0

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4

求證

　a^2　　　b^2　　　 c^2　　　　d^2
 ----- + ------- + ------- + ------- >= 4
　 b　　　　c　　　　 d　　　　 a

很容易的我就弄出僅需證明

a^2 * b + b^2 *c + c^2 *d + d^2 *a <=4即可
但是這個卻弄不出來orz，僅各位賜教!

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→ kerwinhui   : Karamata's inequality / Majorization inequality
→ t0444564    : 有點不太理解你說的不等式的條件要如何在這邊施展@@
→ t0444564    : 我做出來了!!!, 謝謝您!
推 lin6613     : 要怎麼做呀QQ ??
cyc(aab)^2 ≦ cyc(aa) cyc(aabb) [By柯西]
 　　　　　＝ cyc(aa) (aa+cc)(bb+dd) [因式分解]
 　　　　　≦ cyc(aa) cyc(aa)^2 /4 [由算幾或二次函數的概念可得]
 　　　　　＝ 16

證畢
推 lin6613     : 請問為什麼僅需證明a^2 * b + b^2 *c + ...<=4即可?
假若現在有cyc(aab) ≦ 4，則有
cyc(aa/b)cyc(aab) ≧ cyc(aa)^2 = 16, 如此 即cyc(aa/b) ≧ 4.

一般地有
cyc(aa/b) ≧ 2*sqrt(cyc(aa)) for 四變數.

事實上還可以有
cyc(aa/b) ≧ sqrt(5*cyc(aa)) for 五變數.

目前尚不知有無辦法可作n變數
→ lin6613     : 原來如此 謝謝^^
→ lin6613     : 話說[By柯西]那一行一開始應該是 cyc(aab) ≦
→ t0444564    : 對!感謝提醒XD
※ 編輯: t0444564 (115.43.185.64), 08/24/2014 10:31:40