推 alfadick : 你Part B時說: 08/23 23:16
→ alfadick : "從第二步可以看出來，當x=2時，y可以是任何的實數" 08/23 23:16
→ alfadick : 問題x不可以是2耶，there exists x in "A" 08/23 23:16
→ ERT312 : 所以後面是 ≠ 呀 08/24 00:09
※ 引述《finaltry (finaltry)》之銘言：
: 下面的解題過程中有疑問 請板友解惑 謝謝
: 題目:設y=(x-3)/(x^2-x-2) 試求值域?
: 解法:
: 第一步
: 定義域為 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1
: 原式 y=(x-3)/(x^2-x-2) 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1
: <=>yx^2-yx-2y=x-3 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1
: <=>(y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 第二步
: 因為 x屬於R
: ^^^^^^^^^^^^^
: =>判別式大於等於0
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: <=>(y+1)^2+4y(2y-3) 大於等於0
: <=>y大於等於1 或y小於等於1/9 (即為值域)
: 困惑: 請問 由劃底線的地方 感覺好像不是充要條件
: 為什麼x不等於2 且x不等於-1 沒有用到
: 請問怎麼知道求出y的範圍即是所有可能的值(會不會裡面有不合的值)
: 懇請解答 謝謝:)
把值域用集合寫出來或許會比較清楚
假設 y=(x-3)/(x^2-x-2) 的定義域是 A，值域是 B
B = { y | there exists x in A, such that y=(x-3)/(x^2-x-2) }
= { y | there exists x in A, such that yx^2-yx-2y=x-3 } ---- (第二步)
= { y | there exists x in A, such that (y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 }
= { y | there exists x in R, such that (y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 }
這個例子我把 A 改成 R 還是可以，
理由是當 x=2 或 -1 時，也找不出 y (從第二步可看出來)
所以最後我們直接看 (y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 的判別式
就可以得到正確答案
再看一個例子
假設 y=(x-2)/(x^2-x-2) 的定義域是 A，值域是 B
B = { y | there exists x in A, such that y=(x-2)/(x^2-x-2) }
= { y | there exists x in A, such that yx^2-yx-2y=x-2 } ---- (第二步)
= { y | there exists x in A, such that (y)x^2-(y+1)x+(-2y+2)=0 }
≠ { y | there exists x in R, such that (y)x^2-(y+1)x+(-2y+2)=0 }
從第二步可以看出來，當x=2時，y可以是任何的實數
所以直接看 (y)x^2-(y+1)x+(-2y+2)=0 的判別式，鐵定錯掉
另外從判別式判斷 (y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 有沒有解
倒不用在意 y 是不是會等於 0，只要確定判別式的 b≠0
判別式 b^2 - 4ac ≧ 0 ，即使 a=0，只要 b≠0，仍可保證有解
反倒是要留意 a,b 都等於0 時,這時不能只靠判別式
例1
假設 y=(x^2-x-1)/(x^2-x-2) 的定義域是 A，值域是 B
B = { y | there exists x in A, such that y=(x^2-x-1)/(x^2-x-2) }
= { y | there exists x in A, such that yx^2-yx-2y=x^2-x-1 }
= { y | there exists x in R, such that yx^2-yx-2y=x^2-x-1 }
= { y | there exists x in R, such that (y-1)x^2-(y-1)x-2y+1=0 }
= { y | y≦5/9 or y>1 }
y≠1時，從判別式得出 y≦5/9 or y≧1，所以 y≦5/9 or y>1
y=1時，x無解
例2
假設 y=(x^2-x-2)/(x^2-x-2) 的定義域是 A，值域是 B ( 顯然B = {1} )
B = { y | there exists x in A, such that y=(x^2-x-2)/(x^2-x-2) }
= { y | there exists x in A, such that yx^2-yx-2y=x^2-x-2 }
= { y | there exists x in A, such that (y-1)x^2-(y-1)x-2y+2=0 }
y≠1時，從判別式得出 y 屬於 R，但此時 x=2 or -1 (不在A之內)
y=1時,x屬於A
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.227.246.217
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1408775807.A.7AA.html