Re: [微積] 值域

[alfadick (悟道修行者)]

※ 引述《finaltry (finaltry)》之銘言：
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:     (i)      y=0 <=>　x=3
:
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:     (ii)y不等於0時(此時x不等於3),方程式為二次式
:

          通常講定義域是誰，對應域是誰，好比f:[0,Pi]->R,  f(x)=sinx

          沒有人會寫說 0<=x<=Pi   <=>  0<=y<=1

       (因為你ii的最後就是想要證明這種東西，然後藉此說明：「噢，[0,1]就是他的值域！」

         所以我才這樣跟你講)



          這真的很怪。第一就符號邏輯學上來說，這樣寫很怪並且有誤。

          第二就書寫上來說，因為你寫得不是很標準，會讓別人看不懂。

          不過更重要的是，你這樣寫就是有錯。


          舉剛才那個f為例。你想要證明它的值域是[0,1]，你想要證

          0<=x<=Pi   <=>  0<=y<=1

          先幫你修正成比較標準的寫法, 是 Forall x, 0<=x<=Pi <=>  0<=f(x)<=1

          (再提醒你一次，你整個ii就是要證明這件事對吧？)

          這樣也還是有問題。問題在哪？你只能說明所有的x, 只要 0<=x<=Pi, 帶入f

          應變數都會介於 0,1之間。

          那搞不好他們全都送到同一個值啊。看不懂我的意思嗎？

          比方說令 g:[0,Pi]->R,  g(x)=0.5,  注意g是常數函數

          「Forall x, 0<=x<=Pi →  0<=g(x)<=1」  是對的

          「Forall x, 0<=x<=Pi ←  0<=g(x)<=1」  也是對的(看不懂多想幾分鐘)


          所以「Forall x, 0<=x<=Pi <=>  0<=g(x)<=1」也是對的


          今天為什麼我說你錯，因為你想要證明的就是



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:            x屬於R且x不等於2且x不等於-1 (定義域)
:
: 　　　　<=>y大於等於1 或y小於等於1/9 (值域)　#　　　　　


          不是嗎？你處心積慮就是想要得到這個！

          但很可惜，你得到的這個，proves nothing.

          再一次幫你幫你改得正規一點，那句話也就是

          Forall x, x in R\{2,-1} <=> f(x)>=1 or f(x)<=1/9

          假如真的被你給證出來，上面那條是對的，我問你，你要怎麼告訴讀者

          f的值域真的就是 >=1 或 <=1/9？

          難道「Forall x, 0<=x<=Pi <=>  0<=g(x)<=1」，g的值域就是[0,1]?


          結論：

          1. 用你那種=>  <=的寫法來證非常怪. 並且就像我上面點出來的，

             就算你最後費了九牛二虎之力，證出了

             Forall x, x in R\{2,-1} <=> f(x)>=1 or f(x)<=1/9

             你也不能據此就說f的值域是 >=1 聯集 <= 1/9

          2. 如果你不是很懂正規的邏輯的寫法，就別硬逼自己玩一堆=>  <= <=>

             我們當然知道你知道那個的來弄去脈，可是要怎麼「寫」出來，

             並且邏輯正確的寫出來，顯得更重要。

             今天如果你不用這些 =>, <=> 就算了，你用了，

             就要按照數學界的規範走。



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※ 編輯: alfadick (114.44.248.79), 08/23/2014 23:56:54
→ yyc2008     : 我也一直對f:[0,Pi]->R這樣的寫法不解 寫了定義域
→ yyc2008     : 卻沒有值域 只是籠統的說映射到實數上 為什麼這樣?
我查到的說法是說方便

譬如你是要送到實數呢？還是送到有理數呢？還是送到複數呢？

還是說要送到向量呢？(vector-valued function)

因為要確定一個函數的range是非常麻煩的事情，有些你根本無法人工得知range，

所以就不寫range, 寫codomain對應域就好，稍加描述一下那是怎麼樣一個函數。

→ yyc2008     : 另外 我想f想表達的<=>=是指滿足不等式的最小範圍
→ yyc2008     : 內部所有點都能夠被映射到 因為大部分是連續的
沒有這種解釋法，數學就是數學，邏輯就是邏輯，

就好像寫程式一樣，有標準規範。
※ 編輯: alfadick (114.44.248.79), 08/24/2014 00:30:57
→ yyc2008     : 所以我就好奇 數學上都沒有那種最小範圍的表達法嗎?
→ yyc2008     : 集合也許是個方式
推 finaltry    : 恩 我再好好想一想 謝謝你的指正:)
→ alfadick    : 有問題繼續問
→ alfadick    : 這東西本來就很難
推 t0444564    : 重點不就在說明對應域的取值要如何被取出來嗎...?
→ t0444564    : 為什麼被你們這樣解事後看起來非常複雜OAO
→ t0444564    : 如果一個數字不在那個對應域中就要試著宣稱沒有x使
→ t0444564    : 得f(x) = 該值, 如此該值便不在對應域了@@
我這篇是based on finaltry大的證明, 為了指出他的錯誤而寫的,

他的寫法極其之怪，我當初也是看得很痛苦....

所以我按照他的證明脈絡打的這篇文章, 完全不適合單純想要知道怎麼解這題的看 XD


推 suhorng     : 那 f(A) 其中 A 是 f 的 domain 這種符號呢?
→ suhorng     : 這應該滿常見的吧?
你應該是在回yyc2008大XD。

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by the way,

我覺得引進量詞來證明, 表達力就很強了

finaltry 大的解法, 該用forall時沒有用forall,

該用there exists也沒用there exists, 該用集合來書寫也沒用集合

一切只用-> <-來寫, 寫起來變得頗亂.

不只難以閱讀, 並且還出現邏輯的錯誤. (我這篇點出來的那個)
※ 編輯: alfadick (114.44.248.79), 08/25/2014 06:40:09
→ ERT312      : finaltry大寫的並沒有錯喔，反而你這樣幫他"解釋"不
→ ERT312      : 對。
→ alfadick    : 那你趕快指出我反駁他的地方哪裡錯了
→ alfadick    : 不然他想了老半天, 然後發現自己沒有錯, 是人都會
→ alfadick    : 光火.