推 t0444564 : <(_ _)>, 太精緻了, 謝謝您 08/24 22:51
推 cuttlefish : 好強 兩個不等式都沒聽過orz 08/25 19:11
※ 引述《t0444564 (艾利歐)》之銘言：
: 小的又要魯魯的來問不等式了...
: 設a,b,c > 0，求證
: b + c c + a a + b
: ------------- + ------------- + -------------- ≧ 4
: √(aa + bc) √(bb + ca) √(cc + ab)
: 我唯一能想到的就是不妨假設a+b+c=1 [若不然,可作代換a'=a/(a+b+c)依此類推]
: 用循環和的記號表示即有cyc(a)=1, 求證
: cyc((b+c)/sqrt(aa+bb)) ≧ 4
: 另外我也曾考慮過對分子的作算幾不等式，
: 但是很不幸地我發現他等號成立的條件居然是a=b, c=0,以及其循環.
: 所以一堆常見不等式都在這裡無法發揮用途了…跪求想法~
b + c (b+c)^3/2 (2a+2b+2c)^3/2
Σ ------------- = Σ ------------------- ≧ ---------------
cyc √(aa + bc) cyc √[(aa + bc)(b+c)] √[Σ 2aab]
↑ sym
權方和
(2a+2b+2c)^3/2
以下證明 --------------- ≧ 4
√[Σ 2aab]
sym
兩邊平方 (2a+2b+2c)^3 ≧ 16(Σ 2aab)
sym
<=> (a+b+c)^3 ≧ 4 (Σ aab)
sym
<=> a^3 + b^3 + c^3 - (Σ aab) + 6abc ≧ 0
sym
<=> [ a^3 + b^3 + c^3 - (Σ aab) + 3abc ] + 3abc ≧ 0
sym
前半是蕭爾不等式，證畢
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