[代數] 某題數論

[justinj (黑旋風)]

問一下這題要怎麼證

p是質數,p=1(mod 4)

f(x,y)=x^2+y^2(mod p) ,0<=x,y<=p-1,x,y皆為整數

試證 f(x,y)=k,1<=k<=p-1
     對每一個k 恰有p-1個數對(x,y)解

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※ 編輯: justinj (114.40.41.198), 08/29/2014 12:54:26
※ 編輯: justinj (114.40.41.198), 08/29/2014 12:55:08
→ kerwinhui   : 另一種解法：Cauchy-Davenport => 每個k均有(x,y)解
→ kerwinhui   : 然後就(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
→ kerwinhui   : 可證每個非零k都有相同的解數
→ kerwinhui   : 最後0有2p-1個解因為p=1(mod 4),除了0+0以外所有的
→ kerwinhui   : 都是可以從p=a^2+b^2得(x,y)=(c,bc/a)或(c,-bc/a)