推 justinj : 謝謝 08/29 14:34
※ 引述《justinj (黑旋風)》之銘言：
: 問一下這題要怎麼證
: p是質數,p=1(mod 4)
: f(x,y)=x^2+y^2(mod p) ,0<=x,y<=p-1,x,y皆為整數
: 試證 f(x,y)=k,1<=k<=p-1
: 對每一個k 恰有p-1個數對(x,y)解
Claim.
在F_q(q≧3)中,設對任意非零k,x^2+y^2=k的(x,y)解個數為N(k,q),則
(1) 若q≡1(mod 4),則N(k,q)=q-1
(2) 若q≡-1(mod 4),則N(k,q)=q+1
(3) 若q≡0(mod 4),則N(k,q)=q
(即解個數為最靠近q的4的倍數)
pf.
(1) q≡1(mod 4)
=> -1為平方數,令-1=a^2
=> k=x^2-(ay)^2=(x+ay)(x-ay),令u=x+ay,k/u=x-ay
=> x=(u+k/u)/2,y=(u-k/u)/2a
因u(非零)有q-1種選法,且不同的u會有不同的(x,y),故N(k,q)=q-1
(2) q≡-1(mod 4)
=> -1非平方數
(2.1) 若k為平方數,令k=b^2
(2.1.a) 若x≠0
=> 1=(b/x+y/x)(b/x-y/x),令u=b/x+y/x,1/u=b/x-y/x
=> b/x=(u+1/u)/2,y/x=(u-1/u)/2
此時u(非零)有q-1種選法,且不同的u會有不同的(x,y)
=> (x,y)有q-1組解
(2.1.b) 若x=0
=> (x,y)有2組解(0,±1)
=> N(k,q)=(q-1)+2=q+1
(2.2) 若k為非平方數
因對任意非平方數k,N(k,q)都相等
又x^2+y^2=0的解個數為1(只有(0,0),因-1為非平方數)
故由(2.1)可得N(k,q)=(q^2-1-(q+1)(q-1)/2)/((q-1)/2)=q+1
(3) q≡0(mod 4)
=> k均為平方數,令k=c^2
=> c^2=x^2+y^2=(x+y)^2 => x+y=c => (x,y)有q組解 =>N(k,q)=q
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