作者Eliphalet (打電話問功夫)
看板Math
標題Re: [線代] 一題true or false
時間Mon Sep 1 17:23:27 2014
※ 引述《ilmvm0679 (鳳舞九天)》之銘言：
: "If V is a complex inner-product space and T is an operator on V such that
: <T(v),v> = 0 for all v \in V, then T = 0."
: 請問在V是無窮維的時候，這個敘述是對的嗎？ @@"
: 課本只有給 dim V < +∞ 時的證明，有想過要找在 dim V = +∞的情況下的反例，
: 但一直想不到～ 可以請給一點提示嗎？ >_< a
: 或者說它其實是對的？ 那請問要怎麼證明呢？ 謝謝。
應該是對的
對 u,v 屬於 V，
0 = <T(u+v),u+v> - <T(u-v),u-v> + i ( <T(u+iv),u+iv> - <T(u-iv),u-iv> )
= 2<Tu,v> + 2<Tv,u> + i ( -2i<Tu,v> +2i<Tv,u> )
= 4<Tu,v>
代入 v = Tu 可得 Tu = 0 ，所以 T = 0
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推 ilmvm0679 : 謝謝～ :) 09/01 19:14
→ yyc2008 : T是Hermition? 最後的論述不就是題目的前提? 09/01 20:24
→ kerwinhui : T只要是linear就可以了，這個是polarization iden- 09/01 20:51
→ kerwinhui : tity的一個變種 09/01 20:51
→ Eliphalet : T不需要Hermitian，如上面K大所言 09/02 06:15
推 bossrabbit : 應該是對的, 但證明方式好像不對, v=Tu 表示T onto 09/05 08:09
→ bossrabbit : 條件太強 09/05 08:10
跟 T 是否 onto 一點關係也沒有好嗎 = =
上面說了， u,v \in V 是"任意"選取的，又 T: V -> V
固定 u ，可以代入特別的 v = Tu，上面的等式仍會成立
這並不是說 T 是 onto ...
※ 編輯: Eliphalet (114.46.216.173), 09/05/2014 09:29:20