[機統] 機率計算與投報率

[hexjacal (黑麻糬)]

問題如下，自身有能力能寫程式進行模擬
主要是想要以數學做驗證，但在解析方法上不知如何切入

遊戲規則
1. 你目前有五次遊戲機會

2. 每次遊戲獨立，每次遊戲中有 p_0, p_1, p_2 (p_0+p_1+p_2=1)
   的機會能收集到 0, 1, 2 個禮物

3. 在遊戲次數用光前，每收集到三個禮物就可以多換五次遊戲機會

令 (X,Y)=(剩下的遊戲次數, 收集到的禮物數)
初始值 (5, 0)
Ex. 第一次得兩個禮物 (p_2) -> (4, 2)
    第二次得兩個禮物 (p_2) -> (3, 4) -> (8, 1)
    第三次沒得到禮物 (p_0) -> (7, 1)
    第四次得一個禮物 (p_1) -> (6, 2)
    ...
假設一開始投入1$，如果已知每次遊戲平均拿回來是 0.4$
那一直玩到次數用光，平均拿回來是多少$?

第一個浮出來的是像 Queueing or Markovian Chain 狀態轉移的想法
但不知道從這切入是否是正確的?

如果要以樹狀圖做分支話，怕會沒完沒了
不知道有沒有合適的數學方法能用來解析此種問題
或是有關鍵字之類的，還麻煩版上的各位先進指點指點小弟，感謝~

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→ kerwinhui   : 用Markov chain吧…
推 LPH66       : 不過適當的狀態不好找, 畢竟剩餘遊戲次數不是有界
→ LPH66       : 不能硬列舉所有 (X,Y) 出來串
→ XII         : 你要問的是什麼?機率?期望值?
→ hatebnn     : 換五次機會是強制性的嗎(一定要換)?
※ 編輯: hexjacal (1.165.165.133), 09/02/2014 09:06:35
→ hexjacal    : 是一定要換的喔~我想求的比較像回饋期望值
→ hexjacal    : 只是方法不知道，其他的機率或計算部分都可算可得
→ hexjacal    : 還是要 truncated 狀態後，找近似的平均回饋值?
→ kerwinhui   : 簡單一點的話，分成兩部分看(1)回到X=5時Y的分佈
→ kerwinhui   : (2)玩5次沒拿到多5次的機率
→ kerwinhui   : 不過我不太明白你這個平均拿回來0.4的意思…
→ hexjacal    : 就是單次遊戲花1$，但平均贏回是0.4，平均虧0.6
→ hexjacal    : 其實那只是個值，我比較想了解的是算法