[分享] 漫談無限(二)

[ginstein (邁向學術之路)]

開篇之前，老話重提。本系列文旨在闡述一個全新的概念「極量」來理解無窮，

而我想用通俗有趣的筆法來達成這個目標，如果你讀後能接受本文的新論述，

那就達成了撰寫本文的目標之一：「凡事存在著無限的可能！」

只要你擁有一顆好奇心和一個清楚的頭腦，那就能輕鬆理解本系列文關於無窮的新觀點。

所謂「極量」，是代表無窮數列的無窮維向量其尾端之量，還是一個無窮維向量。

上一篇用「{1, 1/2, 1/3,..., 1/n,...} 的極限是什麼？」這問題來探討極量的概念。

我說它的真正極限是個無窮小極量，概念上和古典分析學中的極限０不同。

如果你不懂極量的概念，花不了多少時間，先找出前一篇介紹文看一遍吧。



為了讓讀者體會數學家被無窮小概念折磨困擾的心情，並了解當初放棄這概念的理由，

接著我要論述「無窮小無異於０」這個說法！是的，你沒看錯。

你會說，這和「無窮小不同於０」的說法明顯矛盾不是嗎？

正因如此，接受「無窮小無異於０」的數學家，只好放棄「無窮小不同於０」的想法。

但是在新分析學中，可以兼容並蓄的包容這兩個矛盾概念。

學過新分析學的佛學家可能會說：一切無窮小，亦零亦非零，非零非非零，應作如是觀。

好了，人生苦短，我還是少說點題外話，把握時間，趕緊進入主題。



在進入主題之前，先給中學背景的讀者們補充說明一個重要的實數特性：阿基里德性質。

這可以用阿基里德之龜兔賽跑故事說明。注意啦，不要和阿奇里斯的人龜賽跑悖論搞混。

不管敏捷的兔子先跑了多遠的距離 a，如果兔子睡得不醒兔事而原地不動的話，

即使烏龜的步伐 b 再怎麼小，一直走下去，某個 n 步後，總會超過兔子的。

阿基里德性質可得出不同實數其差異必為有限小的結論。

在數線上的兩個不同點，即使兩者的原始差距再怎麼小，

放大任意倍數後來看，阿基里德告訴你說總可以在某個倍數後讓你分辨得出來。



具有阿基里德性質的實數不存在所謂的非零無窮小，

如果有所謂的無窮小，放大任意倍數後來看，還是無法和０分辨出來，

那憑什麼說非零無窮小和０是不同的呢？在沒有無窮小的狀況下，

無窮數列 {1, 1/2, 1/3,..., 1/n,...} 的極限總還在數線上，

因此這個數列的極限除了是０還能是誰？和任意正實數的世界已離得太遠...

即使有無窮小極量的觀點，在數線上、數值上也只能看似無異於０，不是嗎？



那麼「無窮小無異於０」和「無窮小不同於０」的說法，要怎麼兼容並蓄呢？

關鍵是無窮小在放大「任意有限」倍數後，在數線上、數值上還是「無異於０」，

但是如果放大「無限倍」後，那就可能出現差異了。

上述略富哲學性的說法，用極量的概念來描述就清楚不過。回顧一下極量概念：

極量是代表無窮數列的無窮維向量其尾端之量，每個無窮數列都存在一個極量，

以下用一般項 {x_n} 代替 {x_1, x_2, ..., x_n,... } 的表示法。(x_n 是 TeX 語法)

數列 {1/n} 的無窮小極量乘上任意實數 r，還是個 {r/n} 的無窮小極量。

數列 {1/n} 的無窮小極量乘上數列 {n} 的無窮大極量，是數列 {1} 的常實數極量。

{1/n} 的無窮小極量乘上 {sqrt(n)} 的無窮大極量，還是 {sqrt(n)/n} 的無窮小極量。

附帶一提，和 Landau 熟的朋友會看到數值分析中很重要的 Order 概念，透過無窮數列，

極量概念和數值分析的結合很自然，非標準分析的缺點之一是缺乏數值分析解釋能力。

可用「無窮小極量~=0」兼容並蓄地表示「無窮小無異於０」和「無窮小不同於０」觀點。



就像無窮小和０的矛盾複雜關係，類似的矛盾複雜關係也出現在無窮大和 ∞ 上。

在極分析中，不同的無界遞增數列有不同的無限大極量，因此「存在不同的無窮大」。

不過類似電腦溢位的情形，無限大極量大於任意實數，「在實數中無法區分出不同」。

所以不可能用一個 ∞ 符號表示所有的無窮大，但也無法在實數中表示不同的無窮大。

可用「無窮大極量~=∞」表示「存在不同的無窮大」和「無法表示不同的無窮大」觀點。

學過新分析學的佛學家可能再說：所謂無窮大，亦∞亦非∞，非∞非非∞，應作如是觀。

好奇神學家喬治·貝克萊(George Berkeley)這時會怎麼說呢？



對於經典問題「1 等不等於 0.999...？」相信各位讀者已明白新分析學會怎麼回答吧！

瞭解了極量概念如何整合矛盾的「無窮小無異於０」和「無窮小不同於０」觀點後，

就知道古典分析中許多看似詭異的例子，根本是因為實數中沒有無窮小和無窮大的概念。

像是著名的狄拉克函數，一個在原點時函數值為無窮大，不在原點時其函數值為零，

其積分值是１非０的函數，用黎曼積分或勒貝格積分都無法定義，除非用廣義函數論。

在古典分析中，不同的無窮小都被當成是０，不同的無窮大都用同一個符號 ∞ 表示，

在戴著「有限」的眼鏡下，觀察任何「無限」的景象時，怎麼能不充滿著怪異現象呢！

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※ 編輯: ginstein (42.75.5.209), 09/09/2014 10:44:32
推 yw1002      : 我覺得應該還要把物理中如何處理infinitesimal問題
→ yw1002      : 就是renormalization
※ 編輯: ginstein (36.231.177.141), 09/10/2014 00:37:52
→ ginstein    : 印象中看Gauge Integral時檢驗過renormalization,不
→ ginstein    : 過我只看書上特例,不懂整體理論,如果有機會去想去的
→ ginstein    : 研究機構,也許有機會遇到專家弄得更懂些