[中學] 級數和相除 as n逼近無窮大

[ballballking (蛋蛋王)]

lim   (1^2+2^2+...+n^2)(1^5+2^5+...+n^5)     b
　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－＝ －
n→∞ (1^3+2^3+...+n^3)(1^4+2^4+...+n^4)　　 a


a,b互質

求a+b

答案是19

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.17.164.92
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推 a016258     : 求 a+b ?
是的 已補上 感謝提醒
※ 編輯: ballballking (163.17.164.92), 09/09/2014 09:34:22
推 jacky7987   : 你會推sum_{i=1}^n i^k 的公式嗎？
高中只學過平方和以及立方和



我的方法是

高中只學過  平方和跟立方和的公式

觀察平方和最高次為三次 係數為1/3

立方和最高次為四次  係數為1/4

所以就猜測  四次方和最高次五次 係數為1/5

            五次方和最高次六次 係數為1/6


得到 a/b=10/9


但是猜測那部份根本就是瞎猜

所以才上來請教板友
※ 編輯: ballballking (163.17.164.92), 09/09/2014 10:08:08
推 jacky7987   : http://ppt.cc/lJFH wiki請安心服用
→ ballballking: 感謝!!
推 superlori   : 你說的就是利用bigO，你也可以利用定積分
→ yhliu       : 原 po 很好的類推. 若要證明, 以高中方法, 考慮
→ yhliu       : 1^k + 2^k + .... + n^k
→ yhliu       :  = k! + (k+1)k(k-1)...2+．．．+n(n-1)...(n-k+1)
→ yhliu       :      + n 的 k-1 次以下各項之和
→ yhliu       : 其中 "n 的 k-1 次以下各項之和" 結果最高是 n^k 項
→ yhliu       : 而 k!+...+n(n-1)...(n-k+1)
→ yhliu       :               = (n+1)n(n-1)...(n-k+1)/(k+1)
→ yhliu       : 用的是組合公式 C(n+1,k+1) = C(n,k+1)+C(n,k)
→ yhliu       : 第一個表示式的原由是各項 j^k 表示成:
→ yhliu       : j^k = j(j-1)...(j-k+1) + (j^{k-1} 以下各項)
→ ballballking: 感謝
→ Vulpix      : 只有這樣的題目的話，答案是不是應該還有-19？