作者ginstein (邁向學術之路)
看板Math
標題[分享] 漫談無限（三）
時間Thu Sep 11 23:21:34 2014
開篇之前，先抱歉一下，第二篇或許表達沒那麼清楚，
以為第一篇寫出來了，到第二篇時，讀的人就應該都完全明白了，
因為自己思索這個問題已久，常常忘了極量概念還未被完全了解和接受，
不過沒關係，第二篇結論部分我在這邊重新整理的清楚一點，
「從實數觀點來看，無窮小極量和０(常數極量)是無異、不可區分的」。
所謂「極量」，是代表無窮數列的無窮維向量其尾端之量，還是一個無窮維向量。
第一篇用「{1, 1/2, 1/3,..., 1/n,...} 的極限是什麼？」這問題來探討極量的新概念
「無窮小極量不同於０(常數極量)」，事實上存在著無窮多個無窮小極量和無窮大極量。
如果你不懂極量的概念，花不了多少時間，先把第一篇介紹文看一下吧。
極量的意義與重要性為何？
極量是第一個純數字定義方式，既正確又直覺的闡述了無窮小概念的矛盾特性。
為了正確性，數百年來數學家都快變成邏輯學家了。邏輯是必要的，但不是數學的全部。
恢復數的直覺，是新分析的風格與特色。
要知道微積分的發明雖然被視為有史以來最偉大的數學成就，
但到底什麼是無窮小，沒人說得清楚，包括微積分的發明人牛頓與萊布尼茲。
牛頓曾經嘗試過幾次想要將無限小定義出來，但沒有一個定義是精確的，
牛頓有時將無限小定義為「再也無法細分的數」，有時為「近乎消逝而不可細分的數」。
萊布尼茲最後放棄定義無限小的企圖，一六九五年他寫道，「過於嚴苛」的評論
不應該阻礙人們使用已經證實有用的工具。
包括約翰‧白努力與華里士在內的數學家企圖將無限小定義為一除以無限大，但不管用。
白努利寫出的第一本微積分教科書中，出現了這種令人費解的詞句：
「一個數如果加或減去無窮小，其值不會增加或減少。」
在被神學家喬治·貝克萊(George Berkeley)批評無窮小可說是「消逝量的幽靈」後，
整個十八世紀之中，科學家窮盡心力試圖為微積分找出合乎邏輯的立論基礎。
柯西提出如何消除無限小的擾人困惑的方法，說明微積分可建構在「極限」的概念之上。
把柯西的理論嚴謹化的工作，直到五十年後才由德國數學家威爾史特拉斯完成。
以上歷史資料引用自一本舊書「無限探索無限」(Richard Morris 著，黃逸華譯)
嚴謹化的極限理論證明了 {1, 1/2, ..., 1/n,...} 的極限只能是 0，
基米德性質告訴我們只要項數夠大，這無窮數列中夠大的項可以任意靠近 0，
但當時大多數的數學家並不認為這數列的終端有個實際的無窮項其值為 0。
康托認為存在實無窮，可想像他認為 {1, 1/2, ..., 1/n,...} 的無窮項是 0。
如果你覺得康托的無窮論讀起來怪怪的，但卻無法找出任何錯誤，這是正常的，
當你更加思索無窮後就會體會到，有部分類似歐式幾何和非歐幾何的關係，
過直線外一點能做幾條平行線？結果為何端看選擇哪種假設，存在著不同的可能性。
所以極量的無限大理論，和康拖的無限大理論絕對不同，但在自身假設下都是對的。
極量和非標準分析的超實數也有所不同，但相似之處多於相異之處。
如果你曾上窮碧落下黃泉的在書堆中去尋找、了解古典分析學是如何演變至今的，
知道了神學家「消逝量的幽靈」讓數學家忙了幾百年來完善分析學基礎，
知道數學家們為了建構合理的數學基礎，所花費的無數時間、心血、精力後，
你才能體會到一個所謂簡單自然的數學概念，絕非簡單自然地就能得到！
極量不可思議兼容並蓄的解釋了具有矛盾的「無異於０」和「不同於０」的無窮小概念，
類似地，極量概念也釐清了無窮大概念和 ∞ 符號所帶給人的矛盾複雜感覺。
極量是眾多數學家長久以來，不斷追求尋找的既正確又直覺的合理分析學基礎！
而建立在極量概念上的極分析，必能傳達出既嚴謹又直覺的數學之美。
十七、十八世紀的數學風格是直觀的概念和巧妙的推論，
十九、二十世紀的數學風格是精確的定義和嚴謹的論證，
而結合嚴謹又直覺特性的新分析學風格會是什麼？可以拭目以待！
思索著該怎麼收尾這系列文。
「十年磨一劍，霜刃未曾試。今日把示君，誰有不平事。」
對我而言，撰寫本系列文的另個目的，在說清楚「極量」概念其重要性與影響，
然後去找個適合的研究機構，完成新分析學的相關論文及成果發表。
透過網路先行發文的方式，而非行規慣例，一定有好有壞，
但我已琢磨發展相關概念許久，「極量」只是開胃菜，改寫微積分不過是餐前酒。
這個時代有神奇的電腦和眾多數學軟體，讓普通人就可擁有大數學家的計算推導能力，
幫我進行研究的數學軟體是 Mathematica，累積了許久經驗，了解其長處缺點後，
如果還有機會，我還想進行 Open Object Oriented Mathematica 之類的計畫，
從學術角度來看，就像論文要公開受到檢視一樣，能公開的檢視原始碼很重要。
這能讓更多普通但喜愛數學的人，增加更多可能性做出意想不到的成果。
留下個紀錄，不管是好是壞，相信「存在著無限的可能！」
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At the end, it never ends.
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→ ginstein : 就我所知的MathOO實作,就像用C也可架構出函數庫,然 09/12 08:00
→ ginstein : 後寫出類似物件導向風格的程式,可是這和c++還是不同 09/12 08:01
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