[中學] 積分

[ballballking (蛋蛋王)]

(1)

 x
∫ f(t)dt=x^4 求f(x)=?
 x-1


(2)
                 n
請利用1的結論 求Σ k^4為何
                k=1



第一題我兩邊同時對x微分

得到f(x)-f(x-1)=4x^3 -----------(1)

然後let f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 帶入1式--------(2)

得到f(x)=x^4+2x^3+x^2



第二題
                       n
我對第一題的式子兩邊取Σ
                      x=1


得到 Σ[F(x)-F(x-1)]=Σx^4 , F(x)= ∫f(x)dx

化簡得到 F(n)-F(0)=Σx^4

得到 Σx^4=(1/5)n^5+(1/2)n^4+(1/3)n^3 -----------(3)






我要問的第一個問題是

有關(1)式

已知f(x)-f(x-1)=4x^3

我猜測f是四次多項式

為什麼可以這樣猜?

這是我自己亂猜的

但是有辦法證明說 這樣的f一定是4次多項式嗎?


我要問的第二個問題是

我檢查了我的過程感覺都沒問題

但是正確答案並非(3)

而是 (1/5)n^5+(1/2)n^4+(1/3)n^3-(1/30)n

請問我是哪裡漏了? 感謝!







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→ yyc2008     : 你應該在問次方數之前先問 怎麼知道是多項式?
→ wohtp       : 其實多項式f(x)也不是唯一解。我可以隨便加個積分為
→ wohtp       : 零的函數上去。
→ yyc2008     : 真有點懷疑題目對於函數f有無其他限制
推 ERT312      : (1) 若f(x)是解，f(x) + sin(2πx) 也會是解